Дипломная работа: Разностные схемы для уравнения переноса на неравномерных сетках

Сеточная область w_h зависит от параметра h. При различных значениях параметра h имеем различные сеточные области. Поэтому и сеточные функции y_h (x) зависят от параметра h.

Функции u(x) непрерывного аргумента являются элементами функционального пространства H. Множество сеточных функций y_h (x) образует пространство H_h . Таким образом, в методе сеток пространство H, заменяется пространством H_h сеточных функций y_h (x).

Так как рассматривается множество сеток {w_h }, то мы получаем множество {H_h } пространств сеточных функций, определенных на {w_h }.

Пусть u(x) - решение исходной непрерывной задачи

Lu(x)=f(x), (1)

; y_h - решение разностной задачи, . Для теории приближенных вычислений представляет большой интерес оценка близости u(x) и y_h (x), но u(x) и y_h (x) являются элементами из различных пространств. Пространство H отображается на пространство H_h . Каждой функции ставится в соответствие сеточная функция y_h (x), x w_h , так что y_h =P_h u H_h , где P_h - линейный оператор из H в H_h . Это соответствие можно осуществить различными способами, т. е. зависит от выбора оператора P_h . Теперь, имея сеточную функцию u_h , образуем разность y_h -u_h , которая является вектором пространства H_h . Близость y_h и u_h характеризуется числом y_h -u_hHh , где _Hh – норма на H_h .

Соответствие функций u(x) и u_h можно установить различными способами, например,

u_h =u(x), x w_h .

В дальнейшем мы будем пользоваться этим способом соответствия.

В линейном пространстве H_h введем норму _Hh , которая является аналогом нормы _Н в исходном пространстве Н. Обычно принято выбирать норму в пространстве H_h так, чтобы при стремлении к нулю h она переходила в ту или иную норму функций, заданных на всем отрезке, т.е. чтобы выполнялось условие

_Hh =_{H ,} (2)

где _Н - норма в пространстве функций, определенных на отрезке, которому принадлежит решение.

Условие (2) называют условием согласования в пространствах H_h и Н.

Рассмотрим простейшие типы норм в H_h для случая сеток

w_h ={x_i =i∙h} на отрезке 0≤x≤1.

1. Норма _Hh =

удовлетворяет условию (2), если в качестве Н рассматривать пространство непрерывных функций с нормой

_H =, H=[a,b],

а сеточную функцию определять в виде (2), т.е.

y_h (x)=u_h (x), x w_h

2. Норма _Hh =

удовлетворяют условию (2), если за Н принять пространство непрерывных функций с нормой

_H =u² (x)dx, H=C[a,b] ,

а сеточную функцию определять в виде

y_h =u_h (x), x w_{h .}

1.3 Аппроксимация дифференциальных операторов

Пусть имеем дифференциальный оператор

Этот оператор можно аппроксимировать несколькими способами. Например,