Дипломная работа: Разностные схемы для уравнения переноса на неравномерных сетках

Подставляя разложение (31) в ш_i , получим

Отсюда имеем

т.е. первый порядок аппроксимации. Для сходимости рассмотрим решение задачи для z_i :

Множитель при л > 0. Выражая z_i через z₀ , имеем

Отсюда │z_i │≤ M∙h, т.е. схема имеет первый порядок точности. Таким же образом можно показать, что схема с весом

имеет первый порядок аппроксимации и при выполнении условий устойчивости имеет место сходимость и притом порядок точности совпадает с порядком погрешности аппроксимации.

1.7 Неравномерная сетка

1.7.1 Построение сеточной области

Пусть исходная область ={}. Ее аппроксимируем сеточной областью:

, - средний шаг}- сетка по х;

, - средний шаг}- сетка по t;

Тогда искомая сетка есть - неравномерная сетка.

На этой сетке аппроксимируем дифференциальные операторы:

- правая разностная производная по х; (1)

-сеточная функция;

- левая разностная производная по х; (2)

- центральная разностная производная по х; (3)

- аппроксимация с весом ; (4)

Аппроксимация первой производной по t имеет вид:

- правая разностная производная по t; (5)

- левая разностная производная по t; (6)

- центральная разностная производная по t; (7)

Аппроксимация второй производной по х и по t имеет вид: