Дипломная работа: Разностные схемы для уравнения переноса на неравномерных сетках

ш_h = O(hⁿ ),

т.е ≤ M∙hⁿ .

Теорема . Пусть дифференциальная задача (12), (13) поставлена корректно, разностная схема (14), (15) является корректной и аппроксимирует исходную задачу (12), (13). Тогда решение разностной схемы (14), (15) сходится к решению исходной задачи (12), (13), причем порядок точности совпадает с порядком аппроксимации.

Доказательство . Если схема (14), (15) корректна, то не трудно получить оценку погрешности решения через погрешность аппроксимации (28).

Задача (26), (27) аналогична задаче (14), (15), поэтому для нее пользуясь априорной оценкой вида (16), получим оценку

_Hh = _Hh ≤ M_{1 Hh} + M_{2 Hh} . (29)

Таким образом, если схема (14), (15) корректна и аппроксимирует задачу (12), (13), то она сходится при h→0. Норма погрешности ‖z_h ‖_Hh →0 при h→0, если _Hh →0 и _Hh →0 при h→0.

Из оценки (28) видно, что порядок точности схемы (14), (15) определяется порядком аппроксимации, и чтобы схема сходилась со скоростью O(hⁿ ), n>0 достаточно, чтобы она имела аппроксимацию того же порядка, т.е.

_Hh = О(hⁿ ), _Hh = O(hⁿ ).

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Рассмотрим явную схему Эйлера

которая аппроксимирует дифференциальную задачу (20). Покажем порядок погрешности аппроксимации и сходимость.

Рассмотрим функцию погрешности решения

Для z_i получаем схему:

(30)

Разложим u_{i +1} по формуле Тейлора в точке x_i , имеем

(31)

Подставляя (31) в ш_i , получим

т.е. имеем порядок аппроксимации. Из (30) имеем

При имеем Выражая z_i через z₀ , получим:

Отсюда видно, что при h→0, │z_i │→0. Для точности схемы имеем

│z_{i +1} │≤ h∙│ш_s │≤ h ∙ i ∙ O(h) = x_i ∙O(h) ≤ M ∙ h,

т.е. схема имеет первый порядок точности.

Пример 2. Рассмотрим неявную схему Эйлера

,