Дипломная работа: Решение задач на экстремум

4 способ:

5 способ:

6 способ:

И посчитаем в каждом случае потери материала при каждом раскрое. Это дает возможность рассмотреть все возможности варианты раскроя и выбрать наилучший. На этом пути приходится встречаться с методом перебора. Результаты рассуждений целесообразно свести в таблицу, из которой легко сделать вывод об оптимизационном расходе материала

Способ	1	2	3	4	5	6
Количество заготовок типа М	9	5	6	1	0	13
Количество заготовок типа В	1	2	2	3	3	0
Потери площади в кв. ед.	4	8	2	12	18	0

Оптимальный план раскроя состоит в том, что 25 листов материала нужно раскроить способом 3, при этом потеря материала будет минимальной, то есть 2,6 %.

Достаточно изменить число заготовок и задача станет более сложной, тогда она может быть предложена учащимся для индивидуальной работы.

Пример 2: (Задача о наименьшей площади.)

Дан угол и точка внутри него. Требуется провести через эту точку прямую, отсекающую от угла треугольник наименьшей площади.

Решение.

Покажем, что искомая прямая обладает тем свойством, что отрезок ее, лежащий внутри угла, делится заданной точкой пополам. Такую прямую нетрудно построить. Можно, например, соединить заданную точку М с вершиной А, на продолжении отрезка [AM] отложить отрезок [MA'], равный по длине отрезку [AM], и провести через точку А' прямую параллельно АС. Пусть D- точка пересечения этой прямой и стороны АВ. Тогда, как легко понять, прямая, соединяющая точку D с точкой М и пересекающая АС в точке Е, обладает тем свойством, что |DM| = |ME| (ибо треугольники

MDA'и МЕА равны)

Искомая прямая построена. Возможны и другие способы построения.

Докажем теперь, что построенная прямая

действительно является искомой. Для этого проведем какую-нибудь еще прямую D'E'. Пусть для определенности точка Е' лежит вне Е. тогда площадь треугольника AE'D' равна площади треугольника AED минус площадь треугольника EME' и плюс площадь треугольника MDD'. Обозначим через F точку пересечения прямой DA' с прямой D'E'. Тогда треугольники EME' и MDF равны. Но второй из этих треугольников содержится в треугольнике DD'M. Из сказанного вытекает, что площадь треугольника ADE меньше площади треугольника AD'E'.

Пример 3.

В шар радиуса R вписан конус, осевое сечение которого – равносторонний треугольник. Определить, между какими пределами может изменяться разность площадей двух сечений, из которых первое (КGFD) получается в результате пересечения шара плоскостью, параллельной основанию конуса, а второе(NPF) – в результате пересечения конуса той же плоскостью.

Решение.

Площади обоих сечений равны нулю в том случае, когда проводимая плоскость касается шара в точке В (вершина конуса). Площади обоих сечений будут равны, когда проводима плоскость совпадает с плоскостью основания конуса. Когда же проводимая плоскость занимает промежуточное положение между положениями рассмотренными выше, то площади сечений шара и конуса не равны. Итак, разность S площадей сечений шара и конуса изменяется от нуля до нуля, переходя через максимум, который мы определим.

S=( MK2- MN2 ); OB=R; MB=x;

MK2 = OK2 – OM2 = R2- (R - x)2 = 2Rx – x2/

Так как ∆ АВС равносторонний по условию и АС || NP, то и ∆ NBP также равносторонний, следовательно, MN2 = .

Следовательно S= 2x (3R – 2x),

которое будет максимально, когда максимально S1= 2x(3R- 2x). Так как сумма множителей 2x + 3R - 2x = 3R, то S1 максимально, когда 2х= 3R- 2х, т.е. х= ¾R. Следовательно, максимальное значение S равно .

Метод оценки.

Суть метода состоит в следующем. Рассматривается конкретная геометрическая фигура F, выделяется одна или несколько величин, которые характеризуют данную фигуру. Требуется оценить выделенную величину или совокупность величин, то есть доказать, что величина Z удовлетворяет одному из неравенств вида: Z<Mили Z>m, (1) где т и М определяются условием задачи.

Для решения задачи требуется установить справедливость одного из неравенств (1), то есть доказать, что для каждого Z, принадлежащего одному из неравенств (1), фигура Fсуществует и ни для одного числа Z, не удовлетворяющего неравенству, фигура Fне существует. Заключительным этапом решения задачи является определение экстремальных значений т и М.