Дипломная работа: Решение задач на экстремум

Доказывается эта теорема с помощью выделения полного квадрата. Приведем примеры.

Пример:

Найти наименьшее значение функции

и построить ее график.

Поиски решения.

Данную функцию можно изобразить аналитически так:

Отсюда видно, что при х = -1 она теряет смысл, а при всех других действительных значениях х принимает только положительные значения. Следовательно, ее наименьшим значением может быть только положительное число. Обнаружить это наименьшее значение непосредственно не представляется возможным. Поэтому надо обратиться к каким-то целенаправленным преобразованиям данного аналитического изображения функции.

Решение:

Очевидно, что

Обозначив дробь буквой u, получим:

Искомое наименьшее значение равно и получается оно при т.е. при

х = 1

Перейдем к построению графика данной функции. Составим таблицу нескольких значений х и у, пользуясь формулой

х	-3	-2	-3/2	-1	-1/2	0	1	2	3	…
у	7/4	3	7	Х	3	1	3/4	7/9	13/16	…

Если аргумент х будет приближаться к -1 (слева или справа), то у будет неограниченно возрастать.

Теперь посмотрим, как будет вести себя у, когда х станет стремиться к плюс бесконечности или минус бесконечности. Очевидно, что

Отсюда видно, что при стремлении х к бесконечности у стремится к 1.

Пример 2:

Требуется соорудить канал с поперечным сечением ABDC, где АВ=CD, АВ и CD перпендикулярны к BD. Сумма длин АВ, ВD и СD должны быть равной Р метрам.

Спрашивается, какими надо сделать ширину и глубину канала, чтобы площадь его поперечного сечения, т.е. площадь прямоугольника с вершинами в точках А, В, С, D, оказалась бы наибольшей?

Поиски решения.

Поскольку мы еще не знаем, какими надо сделать глубину и ширину канала, то естественно обозначить эти переменные какими-либо подходящими буквами. Например, положить АВ = х и BD = у. Далее надо выразить через х и у ту величину, наибольшее значение которой нам надо найти, т.е. площадь сечения канала. Эта площадь выразится произведением ху, т.е. будет зависеть от двух переменных величин х и у. Но наше исследование облегчится, если нам удастся выразить площадь в зависимости только от одной переменной. Очевидно, что в данном случае это сделать легко, т.к. по условию задачи 2х + у = Р.

Решение.

Пусть АВ = х, тогда и CD = х, а BD = P - 2x. Площадь сечения будет равна х (Р - 2х). Задача сводится к определению наибольшего значения функции х (Р - 2х), которая представляет собой многочлен второй степени, имеющий вид -2х2+Рх. Очевидно, что