Дипломная работа: Системы эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений

в том случае, когда уже построена некоторая сложная дифференциальная система, встаёт задача о замене этой системы ей качественно эквивалентной, но удобной для дальнейшего исследования.

Для решения этих задач было бы разумно с одной стороны, иметь набор соответствующих модельных систем, т.е. достаточно богатый набор качественно различных дифференциальных систем, а с другой стороны, обладать математическим аппаратом, позволяющим устанавливать качественную эквивалентность модельной системы и исследуемой дифференциальной системы.

Качественное поведение решений дифференциальных систем во многом определяется наличием и количеством периодических решений, их начальными условиями.

Для выяснения вопросов о наличии и количестве периодических решений периодических систем наиболее часто используется отображение Пуанкаре и метод отражающей функции. Ниже будут приведены некоторые сведения о них.

Значительное число работ учёных всех стран мира посвящено качественному исследованию автономных дифференциальных систем небольших размерностей.

Неавтономные дифференциальные системы даже не высоких размерностей изучаются менее интенсивно из-за отсутствия методик их прямого исследования.

Получить сведения, о качественном поведении решений исследуемой неавтономной дифференциальной системы, возможно, установив её эквивалентность, в смысле совпадения отражающих функций, дифференциальной системы, стационарной или нестационарной, качественный портрет решений которой известен.

В данной работе рассматривается задача о построении дифференциальных систем, эквивалентных в смысле совпадения отражающих функций, системам с известным первым интегралом.

§1. Отображение Пуанкаре

Рассмотрим систему

Будем считать, что эта система удовлетворяет следующим условиям:

а) при всех задача Коши для системы имеет единственное решение , .

б) система периодична по , т.е. .

Чтобы не делать далее оговорок, будем считать также, что все решения системы существуют при

Отображение называют оператором или отображением сдвига вдоль решений системы [1]. Имеют место следующие свойства оператора сдвига вдоль решений системы .

.

Каждое из этих свойств вытекает из свойств функции .

Докажем, к примеру, свойство , которое равносильно тождеству

Для его доказательства отметим, что в силу периодичности системы функция , как и функция является решением системы . При эти решения совпадают. Поэтому они обязаны совпадать и при всех , в том числе и при т.е. должно иметь место тождество , а с ним и свойство .

Отображение при любом называют отображением за период, или отображением Пуанкаре для системы . Областью определения отображения Пуанкаре является множество всех тех для которых решение системы определено при всех .

Общий принцип.

Для того, чтобы продолжимое на решение системы было периодическим, необходимо и достаточно, чтобы точка была неподвижной точкой отображения Пуанкаре .

Необходимость очевидным образом следует из периодичности решения .

Достаточность. Пусть есть неподвижная точка отображения за период . Это означает, что