Дипломная работа: Системы эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений

Уравнение Рикатти имеет отражающую функцию . Такую же отражающую функцию имеет и уравнение , которое значительно проще интегрируется в замкнутом виде, а значит проще и исследование свойств решений данного условия.

Приведём более точное понятие эквивалентности, в смысле совпадения отражающих функций, дифференциальных систем.

Эквивалентные системы.

Рассмотрим класс систем

считая, что её правая часть непрерывно дифференцируемая. Будем говорить, что множество систем вида образует класс эквивалентности, если существует дифференцируемая функция со свойствами:

отражающая функция любой системы из рассматриваемого множества совпадает в области определения с функцией ;

любая система вида , отражающая функция которой совпадает в области с функцией , содержится в рассматриваемом множестве.

Две системы вида , принадлежащие одному классу эквивалентности, будем называть эквивалентными . Допуская определённую вольность речи, будем говорить также, что они имеют одну и ту же отражающую функцию. Функцию при этом будем называть отражающей функцией класса, а класс - соответствующим отражающей функции .

Для построения систем имеющих одну и ту же отражающую функцию можно воспользоваться теоремой:

Лемма 2.1 Для всякой непрерывно-дифференцируемой функции , для которой выполнены тождества , имеют место соотношения

Доказательство. Продифференцируем тождество по и по . Получим тождества

из которых следует неравенство и тождества и .

Лемма доказана.

Теорема 2.1. Пусть есть отражающая функция некоторой дифференциальной системы с непрерывно дифференцируемой правой частью, а для дважды непрерывно дифференцируемой функции выполнено

Тогда, для того, чтобы в области функция совпадала с , необходимо и достаточно, чтобы рассматриваемая система имела вид:

где есть некоторая непрерывно дифференцируемая вектор-функция.

Доказательство. Необходимость. Пусть есть отражающая функция некоторой системы и пусть совпадает с .