Дипломная работа: Собственные колебания пластин

Круг вопросов математической физики тесно связан с изучением различных физических процессов. Сюда относятся явления, изучаемые в гидродинамике, теории упругости, электродинамике и т. д. Возникающие при этом математические задачи содержат много общих элементов и составляют предмет математической физики.

Дифференциальным уравнением с частными производными называется равенство, содержащее неизвестную функцию от нескольких переменных, независимые переменные и частные производные неизвестной функции по независимым переменным. Решением уравнения с частными производными называется функция, обращающая это уравнение в тождество [4].

1.1 Поперечные колебания. Начальные и граничные условия

При математическом описании физического процесса нужно, прежде всего, поставить задачу, т.е. сформировать условия, достаточные для однозначного определения процесса. Дифференциальные уравнения с частными производными имеют, вообще говоря, бесконечное множество решений. Поэтому в том случае, когда физическая задача приводится к уравнению с частными производными, для однозначной характеристики процесса необходимо задать некоторые дополнительные условия.

В случае обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка частное решение определяется начальными условиями, например, заданием значений функции и ее первой производной при «начальном» значении аргумента. Для уравнения с частными производными возможны различные формы дополнительных условий.

Рассмотрим их для задачи о поперечных колебаниях струны (под струной понимаем тонкую упругую нить). Каждую точку струны длины l можно охарактеризовать значением ее абсциссы x . Для определения положения струны в момент времени t достаточно задать компоненты вектора смещения точки x в момент t . Тогда будет задавать отклонение струны от оси абсцисс.

(1.1.1)

???? ????? ?????? ??????????, ?? ?????? ??????????? ????????? ???????

, .

Так как процесс колебания струны зависит от ее начальной формы и распределения скоростей, то следует задать начальные условия:

(1.1.2)

,

.

Таким образом, дополнительные условия состоят из граничных и начальных условий , где и – заданные функции точки.

(1.1.1 ¢)

???? ????? ?????? ???????? ?? ????????? ??????, ?? ????????? ??????? (1.1.1) ????????? ?????? ???:

, ,

где и - заданные функции времени t .

Возможны и другие типы граничных условий. Рассмотрим, например, задачу о продольных колебаниях пружины, один конец которой закреплен (точка подвеса), а другой конец свободен. Закон движения свободного конца не задан и зачастую является искомой функцией.

В точке подвеса x =0 отклонение

;

на свободном конце x = l натяжение пружины

равно нулю (нет внешних сил), так что математическая формулировка условия свободного конца имеет вид

.

Если конец x =0 движется по определенному закону , а при x = l задана сила , то

.

Типичным является также условие упругого закрепления, скажем для x = l

или ,

при котором конец x = l может перемещаться, но упругая сила закрепления вызывает на этом конце натяжение, стремящееся вернуть сместившийся конец в прежнее положение.

Если точка (система), относительно которой имеет место упругое закрепление, перемещается, и ее отклонение от начального положения задается функцией , то граничное условие принимает вид

.

Условие упругого закрепления при x =0 имеет вид

.

Таким образом, имеют место три основных типа граничных условий, например, при x =0 :

- граничные условия 1-го рода - заданный режим,

- граничное условие 2-го рода - заданная сила,

- граничное условие 3-го рода - упругое закрепление.

Аналогично задаются граничные условия и на втором конце x = l . Если функция, задаваемая в правой части ( или ), равны нулю, то граничные условия называются однородными [8].

1.2 Метод разделения переменных или метод Фурье

Одним из наиболее распространенных методов решения уравнений с частными производными является метод разделения переменных или метод Фурье.

Пусть требуется найти функцию , удовлетворяющую для t >0 уравнению

(1.2.1)