Дипломная работа: Собственные колебания пластин
Сравним теперь результаты решения двух задач о нахождении функции, характеризующей прогиб мембраны, также при заданных различных граничных условиях, одинаковых начальных условиях, но уже для круглой мембраны.
|
.
Будем искать решение этого уравнения при заданных начальных условиях
|
|
.
Применим метод разделения переменных. Пусть
.
Подставляем полученное выражение для функции 
в уравнение (2.3.1), получаем:
.
|
, ?????????? ????????? ????? ???????? ?? 
. ????? 
.
Из соотношения (2.3.4) получаем однородное дифференциальное уравнение второго порядка для функции 
,
|
,
и следующую задачу на собственные значения для функции 
:
|
К задаче (2.3.6) снова применим метод Фурье для нахождения функции . Пусть 
, подставляем в уравнение для функции 
.
Поделим данное равенство на 
:
Так как левая часть соотношения (
) функция только переменной r , а правая (
) - только переменной 
, то равенство должно сохранять постоянное значение, пусть оно равно 
. При данном предположении получаем:
1) однородное дифференциальное уравнение второго порядка для нахождения функции 
:
Нетривиальные периодические решения для существуют лишь при 
и имеют вид (см. 2.2):
.
2) уравнение для определения функции 
|
|
???????? ????????? ??????? ??? ??????? : 
Таким образом, требуется решить задачу о собственных значениях.
Введем новую переменную
Подставляем выражение 
в уравнение для определения функции 
и получаем, что данное уравнение есть уравнение цилиндрической функции n -го порядка.
|
Решение предыдущей задачи сводится к решению цилиндрического уравнения (2.3.9) с дополнительными граничными условиями
,
общее решение, которого имеет вид
,
где 
- функция Бесселя первого рода, 
- функция Бесселя второго рода или функция Неймана (смотри приложение).
Из условия 
следует, что 
, т. к. при 
.
Из условия 
имеем
, где 
.