Дипломная работа: Собственные колебания пластин
Попытаемся с помощью суперпозиции всех линейно независимых частных решений описанного типа (т. е. удовлетворяющих граничному условию) удовлетворить и начальным условиям. Для этого будем искать нетривиальные частные решения уравнения (1.2.1), удовлетворяющие граничным условиям, в классе функций вида 
(где 
непрерывны в 
, 
непрерывны в 
). Подставляя функцию в уравнение (1.2.1) и деля обе части уравнения на 
, получаем
.
Чтобы это равенство было тождественно (т.е. чтобы функция удовлетворяла уравнению (1.2.1) при всех 
) необходимо и достаточно, чтобы обе дроби были равны одной и той же константе
.
|
,
|
,
причем функция 
должна удовлетворять граничным условиям. Соответствующая краевая задача для уравнения (1.2.3) имеет нетривиальные решения не при всех значениях
. Те значения , при которых она будет иметь нетривиальные решения, называются собственными значениями краевой задачи, а соответствующие им решения уравнения (1.2.3) – собственными функциями краевой задачи.
Суть метода Фурье:
ищем решение уравнения (1.2.1), удовлетворяющее только граничным условиям, среди функций вида 
. Для функции получаем краевую задачу;
решаем краевую задачу для функции . Пусть 
суть собственные функции этой задачи, а 
- отвечающие им собственные значения;
для каждого собственного значения 
находим решение уравнения (1.2.3);
таким образом, частным решением уравнения (1.2.1), удовлетворяющим только граничному условию, являются функции вида 
;
возьмем сумму таких частных решений по всем собственным функциям 
.Данная функция будет являться общим решением рассматриваемой задачи. Причем коэффициенты выбираются таким образом, чтобы эти суммы были решениями начальной задачи [2].
1.3 Однородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
При решении задач математической физики часто приходят к линейным дифференциальным уравнениям второго порядка. Уравнение
|
является однородным линейным уравнением второго порядка с коэффициентом при старшей производной равным единице, а 
. Рассмотрим решение уравнения (1.3.1), оно может быть сведено к алгебраическим операциям и получено в элементарных функциях.
В силу общих свойств линейного уравнения, нам достаточно найти два частных решения, образующих фундаментальную систему решений.
Покажем, что выражение
|
,
где – действительное число, будет удовлетворять нашему уравнению.
Продифференцируем по x выражение (1.3.2):
.
Подставляем полученные выражения в (1.3.1):
|
.
Обозначим через 
- это есть характеристический многочлен , соответствующий оператору L . Тогда (1.3.3) запишется в виде 
.
Характеристический многочлен получается из оператора L [ y ] , если производные различных порядков в этом уравнении заменить равными степенями величины 
: 
на 
.
|
, ????????????? 
.
Уравнение (1.3.4) – есть алгебраическое уравнение с неизвестным , оно называется характеристическим уравнением . Если мы в качестве постоянной в выражение возьмем корень 
характеристического уравнения (1.3.4), то 
, т.е. 
будет решением дифференциального уравнения (1.3.1).
Уравнение (1.3.4) – уравнение 2 -ой степени, следовательно, имеет 2 корня. Если все корни различны, то каждый из них соответствует частному решению дифференциального уравнения (1.3.1).
Следовательно, общее решение уравнения (1.3.1) будет
,
где 
- произвольные постоянные, а 
- решения характеристического уравнения (1.3.4) [6].
|