Дипломная работа: Статистичний аналіз тенденцій захворюваності в Україні

- 2Х'Y +2Х'Хβ = 0, (1.1.5)

Або

Х'Хβ = Х'Y.

Звідки

= ( Х'Х)^-1 Х'Y

Покажемо, що знайдена стаціонарна точка є мінімумом функції ε’ε. Перепишемо (Y-Хβ)’(Y-Хβ) у вигляді

(Y-Хβ)'(Y-Хβ) = (Y-Х)'(Y-Х) + ( - β)'Х'Х( - β). (1.1.6)

Розпишемо

(Y-Х)'(Y-Х) + ( - β)'Х'Х( - β) = (Y'-Х'')(Y-Х) +

+ (' - β')(Х'Х - Х'Хβ) = Y'Y - Y'X - 'X'Y + 'X'X +

+ 'X'X - 'X'X - 'X'X + 'X'X =

= {X'X = X'Y, оскільки - розв’язок нормального рівняння} =

= Y'Y - Y'X - 'X'Y + 'X'Y + 'X'Y - 'X'X β – β'X'Y + β'X'Xβ =

= Y'Y - Y'Xβ – β'X'Y + β'X'X β = (Y - Xβ)'(Y - Xβ)

Ліва частина в (1.1.6) досягає мінімуму при β = .

Далі позначимо = Х. Елементи вектора

e = Y – = Y – Х = (I_n - Х(Х'Х)^-1 Х')Y = (I_n - Р)Y (1.1.7)

називаються залишками (ми позначили тут скорочено Х(Х'Х)^-1 Х' через Р). Мінімальне значення ε'ε називається залишковою сумою квадратів (RSS)).

RSS = (Y - Х)'(Y - Х)= Y'Y - 2Х' Y + 'Х'Х =

= Y’Y - 'Х' Y + '[Х'Х - Х'Y] =

= Y'Y -'Х'Y (1.1.8)

Або

RSS = Y'Y - 'Х'Х (1.1.9)

Відмітимо, що і е єдині.

Оскільки = Х = Х(Х'Х)^-1 Х'Y = РY, то Р є матрицею лінійного перетворення, яке є ортогональним проектуванням n-мірного евклідова простору Е_n на Ω. Аналогічно I_n - Р є матрицею ортогонального проектування Е_n на - ортогональне доповнення до Ω в Е_n . Тому вираз Y = РY + (I_n - Р)Y є єдиним ортогональним розкладом вектора Y на дві складові, одна з яких лежить в Ω, а інша - в . Деякі основні властивості матриць Р і (I_n - Р) наведено в теоремі 1.1.1. Спочатку сформулюємо деякі означення.

Означення. Слідом trX матриці Х називають суму її діагональних елементів

trX = 1 + x₂₁ + x₃₂ + … + x_{np -1}

Означення. Матриця Р називається ідемпотентною, якщо Р² = Р. Симетрична ідемпотентна матриця називається проекційною. Якщо Р – проекційна матриця, то trР = rankР.

Теорема 1.1.1.