Дипломная работа: Статистичний аналіз тенденцій захворюваності в Україні
D[d'Y] - D[c'
] = D[d'Y] - D[(Рd)' Y] =
= d'DYd - σ2 d'Pd = σ2 d'd - σ2 d'Pd =
= σ2 (d'd - d'Рd) = σ2 d'(In - Р)d = {In – P = (In – P)2 } =
= σ2 d'(In - Р)(In - Р)d = {In – P = (In – P)'} =
= σ2 d'(In - Р)'(In - Р)d = σ2 [(In - Р)d]'[(In - Р)d] ≥ 0
Рівність нулю досягається тоді й тільки тоді, коли
(In - Р)d = 0
d – Pd = 0
d = Рd = Рс
Тоді D(d'Y) ≥ D(c'), при цьому c'θ = d'θ. Це і означає, що c' має мінімальну дисперсію і є єдиною оцінкою з такою властивістю в класі всіх лінійних незміщених оцінок лінійних комбінацій c'θ.
Теорема доведена.
Теорема доведена в припущенні, що матриця X має ранг p, так що Р = X (Х'Х)-1 X', і θ =Хβ випливає, що β = (Х'Х)-1 Х'θ.
Нехай с' = а'(Х'Х)-1 X', тоді звідси оцінка а'β = a'(X’X)-1 X' = с' є НЛНО з мінімальною дисперсією для а'β при кожному а.
Зауваження. Якщо похибки εі незалежні й однаково розподілені ε ~ 
або, в еквівалентній формі, Y ~ 
, то a'
має мінімальну дисперсію серед усіх незміщених оцінок, а не тільки в класі лінійних незміщених оцінок.
Зокрема, МНК – оцінка і , і = 0, …, p – 1 є також оцінкою максимальної правдоподібності, і вона ефективна оцінка для βі .
Якщо ж розподіл εi не є нормальним, то МНК – оцінка і відрізняється від оцінки максимальної правдоподібності. В цьому випадку МНК – оцінка 
і асимптотично ефективна для βі .
Оцінимо параметр σ2 = Dεi , але спочатку сформулюємо низку лем.
Лема 1.1.1. Нехай Y = Y( n ×1) – випадковий вектор, А( n × n ) = A – симетрична матриця. Якщо MY = θ, DY = ∑, тоді математичне сподівання квадратичної форми Y'AY дорівнює
M(Y'AY) = tr(A∑) + θ'Aθ
.Наслідок
Якщо ∑ = σ2 I, то tr(A∑) = σ2 trA.
Лема 1.1.2.
Нехай маємо n незалежних випадкових величин Y1 , Y2 , …, Yn з середніми θ1 , θ2 , …, θn , однаковими дисперсіями μ2 та однаковими третіми та четвертими центральними моментами μ3 та μ4 відповідно (μr = M(Yi – θi )r ). Якщо A = = А( n × n ) – симетрична матриця, а a – вектор – стовпець, утворений її діагональними елементами, тоді дисперсія квадратичної форми Y'AY дорівнює
D(Y'AY) = (μ4 – 3(μ2 )2 )a'a + 2(μ2 )2 trA2 + 4(μ2 )2 θ'A2 θ + 4μ3 θ'Aa
Теорема 1.1.4.
Якщо
М[Y] = Xβ, де Х = X( n × p ) , rangX = p, D[Y] = σ2 In ,
тоді оцінка
