Дипломная работа: Статистичний аналіз тенденцій захворюваності в Україні
Доведення.
Похибку ε запишемо у вигляді:
ε = Y - 
= Y - Х
= { = (X'X)-1 X'Y } = Y – X(X'X)-1 X'Y =
= (In – X(X'X)-1 X')Y = (In - Р)Y.
Тоді
(n - p)S2 = (Y - X)'(Y - X) = ((In – P)Y)'((In – P)Y) = Y'(In – P)'(In – P)Y = {(In – P)' = In – P – симетрична} =Y'(In – P)2 Y = Y'(In – P)Y.
Виразимо Y'(In – P)Y з рівності:
(Y – Xβ)'(In – P)(Y – Xβ) = Y'(In – P)Y – Y'(In – P)Xβ – (Xβ)'(In – P)Y + (Xβ)'(In – P)Xβ;
Y'(In – P)Y = (Y – Xβ)'(In – P)(Y – Xβ) + Y'(In – P)Xβ + (Xβ)'(In – P)Y - (Xβ)'(In – P)Xβ.
Порахуємо M(n – p)S2
M(n – p)S2 = MY'(In – P)Y = {лема 1.1.1} = M(Y – Xβ)'(In – P)(Y – Xβ) +
+ MY'(In – P)Xβ + M(Xβ)'(In – P)Y – M(Xβ)'(In – P)Xβ =
= M(Y – Xβ)'(In – P)(Y – Xβ) + (Xβ)'(In – P)Xβ + (Xβ)'(In – P)Xβ –
- (Xβ)'(In – P)Xβ = M(Y – MY)'(In – P)(Y – MY) =
= 
+ (Xβ)'(In – P)Xβ =
= 
+ (Xβ)'(In – P)Xβ =
= 
+ (Xβ)'(In – P)Xβ =
= σ2 (p11 + p22 + … + pnn ) + β'X'(In – P)Xβ =
= σ2 tr(In – P) + β'X'(In – P)Xβ = 
=
= σ2 (n – p) + 0 = σ2 (n – p)
Отже,
M(n – p)S2 = σ2 (n – p) 
MS2 = σ2 .
Теорема доведена.
Виявляється, що S2 , подібно до 
, має певні властивості оптимальності, які наведено в наступній теоремі.
Теорема 1.1.5.
Нехай Y1 , Y2, …, Yn – незалежні випадкові величини, які мають однакові дисперсії μ2 = 3σ2 і однакові треті та четверті моменти μ3 і μ4 . Якщо M[Y] = Xβ, де матриця Х = Х( n × p ) , rangX = p, то DY = σ2 I і (n – p)S2 є єдиною невід’ємною квадратичною незміщеною оцінкою для (n – p)σ2 , яка має мінімальну дисперсію при μ4 = 3σ4 або при рівності всіх діагональних елементів матриці P.
Доведення.
Оскільки σ2 > 0, то будемо розглядати тільки невід’ємні оцінки.
Нехай Y'АY незміщена квадратична оцінка для (n - р)σ2 . Порахуємо математичне сподівання та дисперсію оцінки Y'АY