Дипломная работа: Топологическая определяемость верхних полурешёток

2. Множество всех действительных функций на отрезке и

означает, что для .

Определение: Цепью называется упорядоченное множество, на котором для имеет место или .

Используя отношение порядка, можно получить графическое представление любого конечного упорядоченного множества . Изобразим каждый элемент множества в виде небольшого кружка, располагая выше , если . Соединим и отрезком. Полученная фигура называется диаграммой упорядоченного множества .

Примеры диаграмм упорядоченных множеств:

2. Решётки

Определение: Верхней гранью подмножества в упорядоченном множестве называется элемент из , больший или равный всех из .

Определение: Точная верхняя грань подмножества упорядоченного множества – это такая его верхняя грань, которая меньше любой другой его верхней грани. Обозначается символом и читается «супремум X».

Согласно аксиоме антисимметричности упорядоченного множества, если точная верхняя грань существует, то она единственна.

Понятия нижней грани и точной нижней грани (которая обозначается и читается «инфинум») определяются двойственно. Также, согласно аксиоме антисимметричности упорядоченного множества, если точная нижняя грань существует, то она единственна.

Определение: Решёткой называется упорядоченное множество , в котором любые два элемента и имеют точную нижнюю грань, обозначаемую , и точную верхнюю грань, обозначаемую .

Примеры решёток:

1. Любая цепь является решёткой, т.к. совпадает с меньшим, а с большим из элементов .

2.

Наибольший элемент, то есть элемент, больший или равный каждого элемента упорядоченного множества, обозначают , а наименьший элемент, то есть меньший или равный каждого элемента упорядоченного множества, обозначают .

На решётке можно рассматривать две бинарные операции:

- сложение и

- произведение

Эти операции обладают следующими свойствами:

1. , идемпотентность

2. , коммутативность

3. ,

ассоциативность

4. ,

законы поглощения

Теорема . Пусть - множество с двумя бинарными операциями , обладающими свойствами (1) – (4). Тогда отношение (или ) является порядком на , а возникающее упорядоченное множество оказывается решёткой, причём: