Дипломная работа: Топологическая определяемость верхних полурешёток

Рефлексивность отношения вытекает из свойства (1). Заметим, что оно является следствием свойства (4):

Если и , то есть и , то в силу свойства (2), получим . Это означает, что отношение антисимметрично.

Если и , то применяя свойство (3), получим: , что доказывает транзитивность отношения .

Применяя свойства (3), (1), (2), получим:

,

.

Следовательно, и

Если и , то используя свойства (1) – (3), имеем:

, т.е.

По определению точней верхней грани убедимся, что

Из свойств (2), (4) вытекает, что и

Если и , то по свойствам (3), (4) получим:

Отсюда по свойствам (2) и (4) следует, что

, т.е.

Таким образом, . ■

Пусть решётка, тогда её наибольший элемент характеризуется одним из свойств:

1.

2. .

Аналогично характеризуется наименьший элемент :

1.

2. .

3. Дистрибутивные решётки.

Определение: Решётка называется дистрибутивной , если для выполняется:

1.

2.