Дипломная работа: Топологическая определяемость верхних полурешёток

Понятно, что . По дистрибутивности, существуют такие, что . Т.к. A – идеал, то , потому что . Аналогично, . Т.е. . Точно также, . Если , то легко показать, что .

Доказали, что - идеал. Очевидно, он является верхней гранью идеалов A и B . Если C содержит A и B , то C будет содержать элементы для любых , т.е. Поэтому , поскольку является верхней гранью идеалов A и B и содержится в любой верхней грани.

Теперь покажем, что выполняется равенство:

.

. Пусть , где ,. Т.к. , то , откуда и следовательно . Аналогично, , значит,

. Пусть ,где .

Отсюда следует дистрибутивность решётки .

– дистрибутивная решётка, . Теперь рассмотрим идеалы, образованные этими элементами:

(,будет нижней границей для ). Поэтому , что и доказывает дистрибутивность полурешётки . ■

2. Стоуново пространство.

Определение : Подмножество верхней полурешётки называется коидеалом , если из неравенства следует и существует нижняя граница множества , такая, что .

Определение: Идеал полурешётки называется простым , если и множество является коидеалом.

В дальнейшем нам потребуется лемма Цорна, являющаяся эквивалентным утверждением аксиоме выбора.

Лемма Цорна. Пусть A – множество и X – непустое подмножество множества P ( A ). Предположим, что X обладает следующим свойством: если C – цепь в <>, то . Тогда X обладает максимальным элементом.

Лемма 2 : Пусть – произвольный идеал и – непустой коидеал дистрибутивной верхней полурешётки . Если , то в полурешётке существует простой идеал такой, что и .

Доказательство.

Пусть X – множество всех идеалов в L , содержащих I и не пересекающихся с D . Покажем, что X удовлетворяет лемме Цорна.

Пусть C – произвольная цепь в X и Если , то для некоторых Пусть для определённости . Тогда и , т.к. - идеал. Поэтому . Обратно, пусть , тогда , для некоторого Получаем , откуда .

Доказали, что M – идеал, очевидно, содержащий I и не пересекающийся с D , т.е. . По лемме Цорна X обладает максимальным элементом, т.е. максимальным идеалом P среди содержащих I и не пересекающихся с D .

Покажем, что P – простой. Для этого достаточно доказать, что L \ P является коидеалом. Пусть L \ P и . Поскольку , то , иначе в противном случае по определению идеала. Следовательно, . Если , то и пересекающихся с D в силу максимальности P . Получаем и для некоторых элементов . Существует элемент такой, что и , по определению коидеала, следовательно и для некоторых Заметим, что и не лежат в P , т.к. в противном случае .

Далее, , поэтому для некоторых и . Как и прежде . Кроме того , поэтому - нижняя грань элементов a и b , не лежащая в P . ■

В дальнейшем, через будем обозначать дистрибутивную верхнюю полурешётку с нулём, через множество всех простых идеалов полурешётки .

Множества вида представляют элементы полурешётки в ч.у. множестве (т.е. ). Сделаем все такие множества открытыми в некоторой топологии.

Обозначим через топологическое пространство, определённое на множестве . Пространство SpecL будем называть стоуновым пространством полурешётки L .

Лемма 3 : Для любого идеала I полурешётки L положим:

Тогда множества вида исчерпывают все открытые множества в стоуновом пространстве SpecL .

Доказательство.