Дипломная работа: Топологическая определяемость верхних полурешёток

Теорема: Решётка с 0 и 1 является дистрибутивной тогда и только тогда, когда она не содержит подрешёток вида

Доказательство этого факта можно найти в книге [2].

Далее под словом “решётка” понимается произвольная дистрибутивная решётка с 0 и 1 (причём ).

Определение: Непустое множество называется идеалом в решётке , если выполняются условия:

1.

2.

Определение: Идеал в решётке называется простым , если

или .

Идеал, порождённый множеством Н (т.е. наименьший идеал, содержащий H ), будет обозначаться (Н]. Если Н = { a } , то вместо ({ a }] будем писать ( a ] и называть ( a ] главным идеалом.

Обозначим через I ( L ) множество всех идеалов решётки L. I ( L ) будем называть решёткой идеалов.

Определение: Решётки и называются изоморфными (обозначение: ), если существует взаимно однозначное отображение , называемое изоморфизмом, множества на множество , такое, что

,

.

4. Топологические пространства.

Определение: Топологическое пространство – это непустое множество с некоторой системой выделенных его подмножеств, которая удовлетворяет аксиомам:

1. Пустое множество и само пространство принадлежит системе : .

2. Пересечение любого конечного числа множеств из принадлежит , т.е. .

3. Объединение любого семейства множеств из принадлежит , т.е. .

Таким образом, топологическое пространство – это пара <, >, где - такое множество подмножеств в , что и замкнуто относительно конечных пересечений и произвольных объединений. Множества из называют открытыми, а их дополнения в замкнутыми.

Определение: Пространство называется компактным , если в любом его открытом покрытии можно выбрать конечное подпокрытие.

Определение: Подмножество пространства называется компактным , если в любом его открытом покрытии можно выбрать конечное подпокрытие.

Определение: Топологическое пространство называется - пространством , если для любых двух различных его точек существует открытое множество, содержащее ровно одну из этих точек.