Дипломная работа: Топологическая определяемость верхних полурешёток

1) Рассмотрим идеал, образованный 0. Тогда

,

но 0 лежит в любом идеале, а значит .

2) Возьмём произвольные идеалы и полурешётки и рассмотрим

Пусть . Тогда существуют элементы a и Отсюда следует, что , где L \ P – коидеал. По определению коидеала существует элемент d такой, что и , значит,. Т.к. , следовательно, . Получаем, что .

Обратное включение очевидно.

2) Пусть - произвольное семейство идеалов. Через обозначим множество всех точных верхних граней конечного числа элементов, являющихся представителями семейства . Покажем, что - идеал. Пусть , тогда , где для некоторого идеала . Тогда лежит в идеале , следовательно, и , т.е. . Обратно очевидно.

Доказали, что - идеал. Теперь рассмотрим произвольное объединение.

■

Лемма 4 : Подмножества вида пространства можно охарактеризовать как компактные открытые множества.

Доказательство.

Действительно, если семейство открытых множеств покрывает множество , т.е. , то Отсюда следует, что для некоторого конечного подмножества , поэтому . Таким образом, множество компактно.

Пусть открытое множество r ( I ) компактно, тогда и можно выделить конечное подпокрытие для некоторых .

Покажем, что I порождается элементом .

Предположим, что это не так, и в идеале I найдётся элемент b не лежащий в . Тогда [ b ) – коидеал, не пересекающийся с . По лемме 2 найдётся простой идеал P содержащий и не пересекающийся с [ b ). Получаем, , т.к. (т.е. ), но , т.к. , противоречие. Следовательно, компактным открытым множеством r ( I ) будет только в случае, если - главный идеал.■

Предложение 5: Пространство является - пространством.

Доказательство.

Рассмотрим два различных простых идеала и Q . Хотя бы один не содержится в другом. Допустим для определённости, что . Тогда r ( P ) содержит Q , но не содержит P , т.е. SpecL является - пространством. ■

Теорема 6 : Стоуново пространство