Математика / Дипломная работа: Целочисленные функции

Дипломная работа: Целочисленные функции

Спектр некоторого вещественного числа a определяется как бесконечное мультимножество целых чисел:

Spec (a ) = {, , ,…} (10)

Если , то Spec (a )¹Spec (b ), т.е. нет двух одинаковых спектров.

Действительно, если предположить, что , то найдётся некоторое положительное целое число , такое, что . Следовательно, и . Таким образом, Spec(b ) содержит менее чем m элементов не больших , тогда как Spec(α ) содержит по меньшей мере m .

Пусть . Число элементов в Spec(), которые не превосходят , равно

(11)

Говорят, что спектры образуют разбиение всех целых положительных чисел, если любое число, отсутствующее в одном спектре, присутствует в другом; но никакое число не содержится одновременно в обоих. Пусть и — вещественные положительные числа, тогда Spec() и Spec() образуют разбиение натуральных чисел тогда и только тогда, когда . Интересное свойство спектров будет доказано в задаче 10. В задаче 17 будет показана связь между мультимножествами Spec() и Spec, где — некоторое положительное число.

V. ‘Mod’: бинарная операция.

Если m и n — целые положительные числа, то неполное частное от деления n на m равно . Для того, чтобы было удобно работать с остатками, введём определение остатка:

Это определение можно распространить на произвольные вещественные числа:

(12)

при . Положим .

Дробную часть числа x можно представить как .

Самым важным алгебраическим свойством операции ‘mod’ является распределительный закон:

(13)

Доказательство следует из (11):

Приложение операции ‘ mod ’: разложение n предметов на m групп как можно более равномерных. Решение этого вопроса даёт тождества, справедливые при целых и натуральных .

— выражает разбиение n на m как можно более равных частей в невозрастающем порядке. (14)

— выражает разбиение n на m как можно более равных частей в неубывающем порядке. (15)

Доказательство этих фактов можно найти в книге Р.Грэхем, Д.Кнут, О.Паташник «Конкретная математика» на с.106-108. Если в (15) заменить n на ëmx ûи применить правило (8), то получим тождество, которое справедливо при любом вещественном x и натуральном :

(16)

Глава 2. Целочисленные функции (применение к решению задач)

Задача 1.

Всякое натуральное число представимо в виде: , где . Приведите явные формулы для l и m как функций от n .

Решение:

Тогда

Ответ: , .

Задача 2.

Как выглядит формула для ближайшего целого к заданному вещественному числуx ? В случае «равновесия» — когда x лежит ровно посередине между целыми числами — приведите выражение, округляющее результат:

a) в сторону увеличения, т.е. до éx ù;

b) в сторону уменьшения, т.е. до ëx û.

Решение:

Пусть вещественное число округляется до .