Дипломная работа: Целочисленные функции

Пусть α и β — вещественные положительные числа.

Докажем, что если Spec(α ) и Spec(β ) образуют разбиение всех целых положительных чисел, то α и β — иррациональные числа и .

Spec(α ) и Spec(β ) образуют разбиение всех целых положительных чисел, тогда .

Þ

ÞÞ

ÞÞ

ÞÞ

Þ

Рассмотрим Þ

Þ.

Докажем, что α и β иррациональны. Так как , то числа α и β либо оба рациональны, либо оба иррациональны.

Если α и β оба рациональны, т.е. существует такое целое число m , что и , где и — натуральные числа, тогда ÎSpec(α ) и ÎSpec(β ).

Но никакое число не содержится одновременно в двух спектрах, образующих разбиение всех целых положительных чисел. Следовательно, α и β — иррациональны.

Докажем обратное: если α и β иррациональны и , то Spec(α ) и Spec(β ) образуют разбиение всех целых положительных чисел.

Þ

Так как и — иррациональны, то и — не целые числа, то

и

Отсюда получаем:

(так как и и — иррациональны, то ).

Получаем, что. Отсюда Spec(α ) и Spec(β ) образуют разбиение всех натуральных чисел.

Что и требовалось доказать.

Задача 11.

Докажите, что при целом n .

Доказательство:

· если ( или ), то ,

тогда.

Получаем верное равенство .

· если , тогда .

Правая часть имеет вид: .

Преобразуем левую часть:

.