Математика / Дипломная работа: Упругопластическая деформация трубы

Дипломная работа: Упругопластическая деформация трубы

Методом решения задачи является метод малого параметра, в качестве которого выбирается величина , характеризующая возмущения границ трубы.

Приведем основные обозначения:

- компоненты напряжений,

- компоненты деформаций,

- радиальное и тангенциальное перемещения,

- внутренний и внешний радиусы осесимметричной трубы,

- полярный радиус,

- полярный угол,

- полярный радиус границы пластической зоны,

- модуль сдвига.

Индекс указывает на принадлежность компонента к пластической зоне, индекс - к упругой.

Все величины, имеющие размерность напряжения, отнесём к величине предела текучести , величины, имеющие размерность длины, - к внешнему радиусу .

Обозначим:

- внешний радиус;

2.2 Математическая постановка задачи

Предположим, что искомое решение зависит от некоторого параметра . Будем искать решение в виде рядов по степеням этого параметра

, , ,

, . (2.2.1)

Линеаризация по параметру заключается в разложении всех исходных соотношений: уравнений равновесия, граничных условий и т.п. в ряды по этому параметру. Далее выделяются члены разложения при одинаковых степенях этого параметра, которые определяют систему уравнений, позволяющую развить метод последовательных приближений, если решение при является известным.

Уравнения равновесия линейны относительно компонент напряжений, поэтому они имеют место для любого приближения. Соотношения связи между компонентами перемещений и деформаций также линейны относительно компонент деформаций и перемещений, поэтому они сохраняют свой вид для любого приближения.

Рассмотрим граничные условия в напряжениях. Ограничимся случаем, когда граничные условия заданы на контуре в плоскости двух переменных , . Пусть на границе заданы нормальные и касательные усилия