Книга: Ряды Фурье Интеграл Фурье Операционное исчисление

. (1.4)

§ 2. Скалярное произведение и норма функций

Обозначим символом множество функций, кусочно-непрерывных на промежутке [a , b ], т.е. функций, имеющих на промежутке [a , b ] конечное число точек разрыва первого рода и непрерывных во всех остальных точках этого промежутка.

Скалярным произведением функций называется число

.

Свойства скалярного произведения функций полностью совпадают со свойствами скалярного произведения векторов:

1. .

2. .

3. .

4. ; .

Таким образом, скалярное произведение линейно зависит от своих компонентов. Это свойство называется билинейностью скалярного произведения.

Функции называются ортогональными на [a, b ], если .

Нормой функции на промежутке [a , b ] называется неотрицательное число , квадрат которого равен скалярному произведению функции на себя:

.

Свойства нормы функции во многом совпадают со свойствами модуля вектора:

1. .

2. Если функция непрерывна на [a , b ] и , то . Так как , то при

,

откуда . Дифференцируя последнее соотно- шение по и применяя теорему Барроу, получим и, сле-довательно, .

3. теорема косинусов

. .

Следствие. Если , то (теорема Пифагора).

4. Обобщенная теорема Пифагора. Если функции (k = = 1, 2, …, n ) попарно ортогональны на промежутке , то

.

Используя свойство билинейности скалярного произведения, получим

.

В силу ортогональности функций скалярные произведения при , поэтому

.

5. неравенство Коши – Буняковского , или, что то же самое,