Книга: Ряды Фурье Интеграл Фурье Операционное исчисление

Выполнив в среднем интеграле замену переменной и воспользовавшись периодичностью подынтегральной функции, получим

Последний интеграл не зависит от а , что, собственно, и требовалось доказать.

Таким образом, интегралы в (6.5) не зависят от с . Полагая в этих формулах , убеждаемся в тождественности выражений (5.3) и (6.5).

Если функция не является периодической, то в формулах (6.5) в подынтегральные выражения вместо функции должно входить ее периодическое продолжение .

Упражнение. Доказать, что гармоники (6.2) являются периодическими функциями с периодом 2L , т.е. .

§ 7. Разложение в тригонометрические ряды четных и нечетных функций

Функция , область определения которой симметрична относительно начала координат, называется четной (нечетной), если . Тогда или []. Так, например, функции и нечетны, а и четны. Легко видеть, что произведение двух четных или двух нечетных функций – четная функция, а произведение четной и нечетной функций – нечетная функция.

Предлагаем доказать самостоятельно следующие свойства определенного интеграла:

а) если функция четна, то

; (7.1)

б) если функция нечетна, то

. (7.2)

Указание . Представить интеграл в виде суммы интегралов: и в первом из них выполнить замену .

Пусть четная функция удовлетворяет условиям Дирихле на промежутке [–L , L ]. Произведение будет нечетной функцией, и, поэтому, в силу (7.2)

.

Таким образом, ряд Фурье четной функции содержит только косинусы:

. (7.3)

Так как – четная функция, то вследствие (7.1)

. (7.4)

Подобным же образом получим, что ряд Фурье нечетной функции содержит только синусы:

(7.5)

где

. (7.6)

§ 8. Ряд Фурье для функции, заданной на промежутке [0, L ]

Пусть функция удовлетворяет на промежутке [0, L ] условиям Дирихле. Построим четное продолжение данной функции на промежуток [–L , 0], полагая для . Полученную четную функцию разложим в тригонометрический ряд Фурье (7.3), содержащий только косинусы:

. (8.1)