Контрольная работа: Экстремальная задача на индексационных классах
Пусть система 
образует T+ - систему на [0, ¥).
Рассмотрим систему функций 
, такую, что wi =ui для 
и 
- T+ - системы для m³n (см. [1]).
Теорема 1. Пусть система 
образует T+ - систему на [0, ¥), F-нижний W-индексационный с дефектом n класс функций на [0, ¥). Тогда
.
Доказательство. Пусть 
. Согласно условию 2 определения индексационного класса, существует последовательность {fj }j ³ 1 ÌIk - такая, что 
. Зафиксируем произвольное fl .
Если fl ÎIk - , где k£n+1, то положим fl * =fl .
Пусть k>n+1 и s={
} – (k-1, W) окрестность fl в Ik - .
Рассмотрим произвольные 
и 
. Допустим, что 
. Согласно лемме 1, отношения 
и 
невозможны для s£k-1. Следовательно, 
и 
, что невозможно.
Таким образом, отображение 
непрерывно и взаимно однозначно. Из принципа инвариативности области (см. [3]) следует, что 
- открытое множество в Rk -1 , содержащее 
.
Пусть 
, 
и 
- многочлен по системе 
, имеющий k-2 нулей x1 , …, xk -2 . Условие bk -1 =0 противоречит чебышевости системы 
. Положим bk -1 >0. Тогда (см. [5]) P(t)>0 при t>xk -2 .
Имеем
,
где cl i – i-ая компонента вектора 
, и, следовательно,
.
Так как константа К не зависит от f, то ml >-¥.
Кроме того, 
.
Возьмем последовательность 
, такую, что
Fk -1 (flp )>Fk -1 (flq )=ml при p<q и
,
Рассмотрим произвольные flp и flq , где p<q. Так как 
, то отношения 
и 
невозможны для s£k-2. Отношения 
и 
невозможны, так как flp , flq ÎIk - . Из леммы 1 получаем 
.
Так как 
, то найдется функция 
, такая, что Fk -1 (fl ’ )=ml .
Отношение fl ’ ÎIk - невозможно, в силу определения числа ml и принципа инвариативности области. Отношения fl ’ ÎIm - для m<k-1 невозможны, так как 
. Следовательно 
.
Продолжая таким образом, через k-n-2 шагов получим функцию 
, такую, что 
. Из условия 
следует утверждение теоремы 1.
Замечание 1. Класс F непрерывных слева, неотрицательных функций на [0, ¥) назовем верхним U-индексационным с дефектом n, если:
1. Класс F равномерно ограничен;
2. 
;
3. Множества Ik + (k-1, U) – открыты для всех k>n+1;
4. Для k>n из любой последовательности {fi }i ³ 1 ÌIk + такой, что
,