Контрольная работа: Экстремальная задача на индексационных классах

В случае утверждение теоремы очевидно.

Пусть .

Лемма 3. Для любого ФР и любой точки xÎ[a, b] существует ФР такая, что Á_v (t)³Á_s (t) (Á_v (t)£Á_s (t)) в некоторой окрестности точки x.

Доказательство. Если не существует такого i, 0£i£n+2, что n-1 четно и xÎY_i (0), то в некоторой окрестности точки x имеет место d₀ £0. В этом случае положим .

Пусть существует i такое, что n-i четно и xÎY_i (0).

Случай I, i¹n+2. a) Предположим, что xÏY_i (1). Пусть . Согласно лемме 2, xÎY_i (b^¢ ). В силу сделанного предположения, b¢<1 и, следовательно, существует последовательность {b_j }_{j ³ 1} такая, что xÎY_i (b_j ) и b_j ®b¢. Пусть для некоторого b_l не существует такого k, что n-k четно и xÎY_k (b_l ). Тогда в некоторой окрестности точки x. В этом случае полагаем . Если же для всех b_j , j³1, существует k_j такие, что n-k_j четны и , то существует m, m¹i, такое, что n-m четно и xÎY_m (b_j ) для бесконечного числа элементов последовательности {b_j }. По лемме 2 xÎY_m (b¢). Так как n-i и n-m четны, то m¹i-1, m¹i+1. Вместе с m¹i это противоречит включению xÎY_i (b¢).

б) Предположим, что xÎY_i (1)=X_{i +1} (1). Пусть a¢=inf{a:xÎX_{i +1} (a)}. Согласно лемме 2, xÎX_{i +1} (a¢). Если a¢=0, то xÎX_{i +1} (0)=Y_{i +2} (0). Это противоречит условию xÎX_{i +1} (a¢). Поэтому a¢¹0 и дальнейшее рассмотрение аналогично приведенному в а).

Случай II, i=n+2. а) При x¹Y_{n +2} (1) доказательство аналогично доказательству пункта а) случая I.

б) Пусть xÎY_{n +2} (1). Так как Y_{n +2} (1)ÌY_{n +1} (1), то xÎY_{n +1} (1). Точка x не может совпадать с левым концом отрезка Y_{n +1} (1), так как в этом случае множества Y_{n +1} (1) и Y_{n +2} (1) совпадают, что невозможно. Так как xÎY_{n +1} (1) и не совпадает с левым концом отрезка Y_{n +1} (1), то d₁ (t)£0 в некоторой окрестности точки x. В этом случае полагаем .

Итак, доказано существование такой ФР , что Á_s -Á_n £0 в некоторой окрестности точки x. Случай Á_s -Á_n ³0 рассматривается аналогично.

Теорема следует из леммы 3 и утверждения:

Á_s (x) и Á_s (x+0) достижимы. Докажем последнее.

Пусть d=Á_s (x) . Пусть последовательность ФР , i³1, такова, что Á. Выберем подпоследовательность последовательности {s_i }, слабо сходящуюся к некоторой ФР . Покажем, что Á_s (x)=d. Для произвольного e>0 выберем x¢<x такое, что Á_s (x)-Á_s (x¢)<e¤2 и x¢- точка непрерывности Á_s . Существует номер N такой, что для любого j>N выполнено неравенство ½Á (x¢)-Á_s (x¢)½<e¤2, из которого следует, что Á_s (x¢) - Á (x¢)<e, j>N. Так как Á (x¢) £Á (x), то Á_s (x) - Á (x)<e, откуда следует Á_s (x) - d£e. Последнее неравенство влечет Á_s (x)=d.

Глава 2 О чебышевской экстремальной задаче на [0, ¥ )

В настоящей работе на конкретных классах функций распределения (ФР) даны два подхода к решению чебышевской экстремальной задачи на [0, ¥).

Чебышевская экстремальная задача. Пусть Â - выпуклый класс ФР на [0, ¥), системы u₀ º1 на [0, ¥) функций образуют T₊ -системы на [0, ¥).

Положим (1£i£n, sÎÂ):

, ,

- моментное пространство класса Â относительно системы .

Пусть .

Найти , где .

1⁰ . Первый подход заключается в урезании справа класса  в точке x>0, наложении условий, при которых задача на «урезанном» классе Â_х решается, и в переносе предельным переходом x®¥ решения на класс Â.

Для любого x>0 введем подкласс класса Â: Â_х ={sÎÂ:s(x+0)=1}.

Очевидно, для любых x₁ <x₂

(1)

Предположим, что для любого x>0 Â_х - индексационный с дефектом n класс ФР на [0, x] ([5]).

Примерами таких классов служат: класс всех ФР на [0, ¥), класс ФР вогнутых на [0, ¥),класс ФР s на [0, ¥), удовлетворяющих при 0£x<y<¥ неравенству , L>0 и т. д.

Перечисленные выше классы являются нижними индексационными ([2]), т. е. для них выполнено включение

(-замыкание множества XÌRⁿ ),

где I_i ^- - множество всех ФР, имеющих индекс i^- в Â.