Контрольная работа: Экстремальная задача на индексационных классах
Пусть Â – некоторый класс функций распределения (ФР) на [a, b], -¥<a<b<¥; W(t) – (n+1) раз непрерывно дифференцируемая функция на [a, b], причем W( k ) (t)>0 для tÎ[a, b] и 
; c1 , …, cn – вещественные константы; xÎ[a, b].
Экстремальная задача. Найти супремум и инфимум интеграла
на множестве 
ФР из Â, удовлетворяющих ограничениям
, 
.
Для классов Âo - всех ФР на [a, b] и ВL – ФР на [a, b], удовлетворяющих условию 
, -¥<x<y<¥, задача решена в [1].
Важность решение экстремальных задач на разных классах ФР обоснована, например, в [1 - 5].
Задача при x=b решена в [4] для мажоризационных классов.
Анализ задачи на мажоризационных классах в общем случае наталкивается на трудности. Выход мы видим в рассмотрении классов с иной структурой – индексационных классов ФР.
Ниже предполагается, что Â - индексационный с дефектом n класс ФР на [a, b]. Определение индексационного с дефектом n класса приведено в [5]. Индексационными являются многие важные классы ФР, например, Âo , BL , класс унимодальных ФР на [a, b] и др.
Обозначим (k³1,AÌÂ, sÎÂ): Ik + (Ik - ) –множество всех ФР из Â, имеющих индекс k+ (k- ); 
; 
- пространство моментов порядка k; 
; 
; 
, 
.
Основной результат работы содержится в утверждении.
Теорема. Пусть 
, 
. Тогда:
1. 
,
2. 
,
3. 
,
4. 
.
§ 2 Свойства отображения 
Нам понадобятся два факта из [6].
1. Для любого 
существует и единственная ФР 
.
2. Если 
, то множество одноэлементно. Если 
, то существуют непрерывные, однопараметрические семейства 
(т. е. 
при 
и 
(значок Þ обозначает слабую сходимость)) и 
ФР такие, что 
,
, 
, для aÎ(0,1) и 
для bÎ(0,1).
Пусть 
и 
, где 
, xÎ[a, b].
Функция Ás непрерывна слева на [a, b] и Ás (a)=0 для всех sÎÂ. Так как W(t)>0 при tÎ[a, b], то Ás (x) не убывает по x.
Далее, из sk Þs при k®¥ следует Á
ÞÁs . Следовательно, семейства распределений {Á
} и {Á
} непрерывны.
Определение 1. Функция f имеет на [a, b] m строгих перемен знака, если существуют множества B0 (f)<…<Bm (f) (под X<Y (X, YÌR1 ) понимаем x<y для всех xÎX, yÎY) из [a, b] такие, что (-1)j f(x)>0 (или (-1)j +1 f(x)>0 при xÎBj (f), 
и f(x)=0 при 
.
Лемма 1. Для любого распределения Á
(Á
) и для любого Ám , 
, функция Ám - Á
(Ám - Á
) имеет либо n+1, либо n+2 строгих перемен знака на [a, b].
Доказательство. Предположим, что функция Ám - Á
имеет более n+2 строгих перемен знака. Тогда существуют a<x0 <x1 <…<xn +3 £b такие, что (-1)i [Ám 
-Á
] > 0, 
. Кроме того, Ám (a)=Á
(a)=0. Следовательно, существуют точки y0 Î[a, x0 ), y1 Î[x0 , x1 ), …, yn +3 Î[xn +2 , xn +3 ) такие, что функция (-1)i [m(t) - ha (t)] возрастает в точке yi , 
, что противоречит условию 
.
Равенство 
запишем в виде
Ás (t)=ci , 
,
где 
, , с0 = 1.