Контрольная работа: Экстремальная задача на индексационных классах

Содержание

Введение

Глава 1. Неравенство Маркова на индексационных классах

§ 1. Экстремальная задача

§ 2. Свойства отображения

§ 3. Доказательство теоремы

Глава 2. О чебышевской экстремальной задаче на [0, ¥)

Литература

Введение

В работе вводится понятие индекса функции на [0,¥) относительно произвольного класса F функций на [0, ¥), основанное на сравнении двух функций через количество перемен знака их разности. С помощью понятия индекса аксиоматически определяется индексационный класс F. На индексационных классах изучается конечная проблема моментов.

Определение 1. Скажем, что функция D(t), tÎR¹ , имеет k строгих перемен знака, если существуют множества A₁ <A₂ <…<A_{k +1} , такие, что

а) ;

б) знаки функции D(t) на множествах A₁ , A₂ , …, A_{k +1} перемежаются.

Пусть f(t) и g(t) – функции на R¹ . Пишем , если функция D=g-f имеет k-1 строгих перемен знака, причем на последнем множестве строгого знакопостоянства она отрицательна.

Нетрудно видеть, что отношение выполнено тогда и только тогда, когда

а) не существует точки x₁ , …, x_k (-¥<x₁ <…<x_k <¥) такие, что

(-1)^k-i f(x_i ) > (-1)^k-i g(x_i ), ;

б) существуют точки y₁ , …, y_k (-¥<y₁ <…<y_k <¥) такие, что

(-1)^k-i f(y_i ) > (-1)^k-i g(y_i ), .

Пусть F – некоторый класс непрерывных слева функций на [0, ¥) и f, gÎF.

Определение 2. Пишем , если для любой функции hÎF, h¹g, выполнено одно из отношений: , , , . Пишем , если для любой функции hÎF, h¹f, выполнено одно из отношений: , ,, .

Функция f имеет индекс k^- в F, если выполнено отношение и не выполнено . Функция g имеет индекс k⁺ в F, если выполнено и не выполнено .

Через I_k ^- (I_k ⁺ ), k³1, обозначим совокупность всех функций с индексом k^- (k⁺ ) в F.

Пусть U – семейство функций на [0, ¥).

Через F_U обозначим множество функций fÎF, для которых интегралы

, uÎU,

абсолютно сходятся.

В случае положим , fÎF_U , AÌF_U , :

, F_i (A)={F_i (f): fÎA},

, ,

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--