Контрольная работа: Экстремальная задача на индексационных классах

5. I_k ⁺ ÌF_U для k³n+1.

Теорема 2. Пусть система образует T₊ -систему на [0, ¥), F-верхний W-индексационный с дефектом n класс функций на [0, ¥). Тогда

.

Определение 6. Систему непрерывных на [0, ¥) функций назовем T₊ ¹ -системой, если она является T₊ -системой, и, кроме того, системы u₁ , …, u_{l -1} , u_{l +1} , …, u_n также являются T₊ -системами для .

Лемма 2. Пусть - T₊ ¹ -система на [0, ¥), функции f и g таковы, что

(-1)^n-i F_i (f) ³ (-1)^n-i F_i (g), .

Тогда отношения , и , , невозможны.

Доказательство. Допустим, что имеет место отношение и 1£p£n.

Пусть x₁ , …, x_{p -1} (-¥<x₁ <…<x_{p -1} <¥) – точки перемен знака функции ; x_о =-¥, x_n =¥; . Выберем точки x_{n -1} <x_{n -2} <…<x_p <x_{p -1} так, чтобы , , . Рассмотрим систему равенств

, (4)

где h_i =±1. Из условия следует, что h_n =1. С другой стороны, из (4) получаем

,

где А – матрица, записанная в (4) слева, A_n ⁱ – матрица, получаемая из А удалением i-ой строки и n-го столбца. Так как - T₊ ¹ -система на [0, ¥), то detA>0, detA_n ⁱ >0, . Следовательно, h_n £0. Получили противоречие.

Случай , , рассматривается аналогично.

Теорема 3. Пусть - T₊ ¹ -система на [0, ¥), F-нижний W-индексационный с дефектом n класс функций на [0, ¥). Тогда

.

Доказательство. Пусть . Возьмем последовательность векторов так, чтобы при и

для , j³1.

Согласно теореме 1, для любого найдется последовательность такая, что .

Существует j₁ , такое, что , где r - какая-либо метрика в Rⁿ , и

, .

Выберем j₂ так, чтобы и

, .

Продолжая таким образом, получим последовательность такую, что и

(5)

Рассмотрим произвольные и . Отношения и для k>n невозможны, в силу условий .

Из неравенств (5), в силу леммы 2, имеем

,