Пусть функция f(t) имеет k строгих перемен знака на [a, b]. Наряду с множествами B_i (f) строгого знакопостоянства рассмотрим множества P₀ (f)=(-¥, infB₁ (f)], P_i (f)=[supB_{i -1} (f), infB_{i +1} (f)],

, P_k (f)=[supB_{k -1} (f), +¥).

Зафиксируем ФР . Рассмотрим два класса функций

{D_a =Á_s - Á :aÎ[0,1]} и {d_b =Á_s - Á :bÎ[0,1]}.

Число a (число b) назовем: параметром первого типа, если функция D_a (d_b ) имеет n+2 строгих перемен знака (в этом случае на последнем множестве строго знакопостоянства функция D_a (d_b ) отрицательна (положительна)); параметром второго типа, если функция D_a (d_b ) имеет n+1 строгих перемен знака, причем на последнем множестве строгого знакопостоянства она отрицательна; параметром третьего типа, если функция D_a (d_b ) имеет n+1 перемен знака, причем на последнем множестве строгого знакопостоянства она положительна.

Каждому aÎ[0,1] (bÎ[0,1]) сопоставим набор из n+3 множеств X₀ (a), …, X_{n +2} (a) (Y₀ (b), …, Y_{n +2} (b)) следующим образом. Если a (b) есть:

1.параметр первого типа, то

X_i (a)=P_i (D_a ), (Y_i (b)=P_i (d_b ), );

2.

3.параметр второго типа, то

X_i (a)=P_i-1 (D_a ), , X₀ (a)=(-¥, infB₀ (D_a )],

(Y_i (b)=P_i (d_b ), , Y_n+2 (b)=(supB_n+1 (d_b ), +¥));

4.параметр третьего типа, то

X_i (a)=P_i (D_a ), , X_{n +2} (a)=[supB_{n +1} (D_a ), +¥)),

(Y_i (b)=P_{i -1} (d_b ), , Y₀ (b)=(-¥, infB₀ (d_b )]).

Таким образом:

(-1)^n-i D_a (t)£0 при tÎIntX_i (a), , (1)

(-1)^n-i d_b (t)³0 при tÎIntY_i (b), .

При этом ни для какого i не существует интервала X, для которого выполнено строгое включение XÉIntX_i (a) и (-1)^{n - i} D_a (t)£0 при tÎX. Ни для какого i не существует интервала YÉIntY_i (b) и (-1)^{n - i} d_b (t)³0 при tÎY.

Заметим также, что X_i (0)=Y_{i +1} (0), X_{i +1} (1)=Y_i (1).

Определение 2. Отображение Z(g): gÎ[0, 1]®Z(g)ÌR¹ непрерывно, если из g_i ®g⁰ , x_i ®x⁰ , где g⁰ , g_i Î[0, 1], x_i ÎZ(g_i ), i³1, следует x⁰ ÎZ(g⁰ ).

Лемма 2. Отображения X_i (a), Y_i (b), непрерывны.

Доказательство. Пусть a_j ®a, j®¥. Обозначим через границы отрезка X_i (a_j ). Определим a₀ =-¥. Возьмем произвольную точку a₁ сгущения последовательности {a₁ ^{( j )} }_{j ³ 1} . Пусть для удобства . Проделаем ту же операцию с последовательностями {a_i ^{( j )} }_{j ³ 1} , и {b_i ^{( j )} }_{j ³ 1} , . Положим b_n+2 =+¥.

Итак,

, , (2)

причем -¥=a₀ <a₁ £b₀ £a₂ £b₁ £…£a_n+1 £b_n £a_n+2 £b_n+1 <b_n+2 =+¥.

Из (1) и (2) следует, что для .

(-1)^n-i D_a (t)£0 (3)

при tÎ(a_i , b_i ), если a_i ¹b_i .

Из (3) и следует, что a_i ¹b_i , , так как в противном случае функция D_a имело бы не более n строгих перемен знака, что противоречит лемме 1. Отсюда и из определения X_i (a) следует [a_i , b_i ]ÌX_i (a),. Для любого i из x_j Î[a_i ^{( j )} , b_i ^{( j )} ] и x_j ®x⁰ вытекает, что x⁰ Î[a_i , b_i ]. Следовательно, x⁰ ÎX_i (a).