Контрольная работа: Электромагнитные волны
Таким образом, все векторы, характеризующие электромагнитное поле (
и 
), выражаются через две вспомогательные функции:
. Следовательно, теперь задача состоит в том, чтобы определить эти две функции. Для этого подставим (4.3[4]) и (4.6[4]) в первое уравнение Максвелла.
,
.
Учитывая известное из высшей математики тождество 
, где 
- любая векторная величина, преобразуем полученное выражение следующим образом:
.
.
Поскольку 
- произвольные вспомогательные функции, то зададим их таким образом, чтобы выполнялось условие:
. (4.8[4])
Условие (4.8[4]) получило название условие калибровки Лоренца.
С учетом (4.8[4]) окончательно получаем:
, (4.9[4])
где: 
– называют волновым числом,
– оператор Лапласа.
Аналогичным образом, подставляя в третье уравнение Максвелла уравнение (4.7[4]), затем, учитывая условие калибровки Лоренца и известное тождество 
, где 
– некая скалярная величина, после несложных преобразований получим:
. (4.10[4])
Таким образом, мы получили два неоднородных дифференциальных уравнения второго порядка для функций 
. Среди множества решений выбирается то, которое удовлетворяет условию калибровки (4.8[4]), и затем уже с помощью (4.2, 4.3, 4.6, 4.7 [4]) определяются векторы электромагнитного поля.
Опуская ввиду громоздкости строгий вывод решения неоднородных дифференциальных уравнений (4.9[4]) и (4.10[4]), приведем лишь конечный результат решения этих уравнений:
, (4.11[4])
, (4.12[4])
где: V – область пространства, содержащая сторонние источники;
r – расстояние от источника до точки наблюдения (см. рис.1).
Рис.1. К пояснению выражений для электродинамических потенциалов
Рассмотрим простейший излучатель электромагнитных волн в виде короткого отрезка провода. Дадим определение:
Элементарным электрическим излучателем (ток Iст вибратором) называют отрезок провода, вдоль которого течет переменный ток с постоянной амплитудой Iст m = const, причем длина l этого проводника значительно меньше излучаемой длины волны l.
Представим ток Iст в комплексной форме:
.
Применим к отрезку провода, по которому протекает ток Iст , закон сохранения заряда (см. ур. 1.26[4])
,