Контрольная работа: Кручение упругопластического стержня

или в форме вариационного неравенства: (1.11)

2. Математическая корректность

Теперь покажем, что задача З1 математически корректна.

Задача называется математически корректной, если выполнены три условия:

1) ее решение существует (условие существования);

2) решение единственно (условие единственности);

3) решение задачи непрерывно зависит от данных задачи (условие устойчивости).

Проверим выполнение всех трех условий.

2.1 Существование решения

Существование решения обеспечивается теоремой вариационного исчисления о том, что полунепрерывный выпуклый функционал достигает своей точной нижней грани на непустом, выпуклом, замкнутом подмножестве рефлексивного банахова пространства.

(2.1.1)

– рефлексивное банахово пространство,

Подмножество является непустым, замкнутым и выпуклым множеством.

Покажем, что – непрерывный и выпуклый функционал.

(2.1.2)

Пусть : в

Тогда в и в , при

Следовательно, ,

т.е. функционал является непрерывным.

Покажем выпуклость функционала, используя его запись в общем виде.

(2.1.3)

Таким образом, все условия указанной выше теоремы выполнены, и, следовательно, задача З1 имеет решение.

2.2 Единственность решения

Утверждение 1. Билинейная форма – V-эллиптическая.

Доказательство: (в силу эквивалентности норм в пространстве );

Утверждение 2. Решение задачи З1 единственно.

Доказательство: