Контрольная работа: Кручение упругопластического стержня

Следовательно, решение вариационной задачи .

Замечания по реализации:

Неизвестную функцию решения будем искать в виде:

, (4.6) где – число узлов триангуляции,

– значение функции в i-том узле,

– базисная функция из пространства .

Тогда задача минимизации функционала (4.2) превратится в задачу многомерной минимизации по :

5. Тесты

Алгоритм для нахождения минимума функционала (4.2) реализован в среде Matlab.

Были проведены расчеты для различных форм сечений стержня (области ): круга, квадрата и треугольника.

В случае если сечение стержня – круг, то известно аналитическое решение задачи.

1) . Точное решение задачи .

На рис. 2-5 продемонстрированы численные решения задачи при разных разбиениях .

Рис.2 Число узлов = 29

Рис.3 Число узлов = 146

Рис.4 Число узлов = 270

Рис.5 Число узлов = 549

Для оценки погрешности решения введем величину , характеризующую относительную погрешность.

Здесь – точное решение, – численное решение;

, где – число узлов.

В таблице 1 приведены результаты сравнения численного и точного решения.

№ теста	Число элементов	Число узлов	Относит.погрешность
1	40	29	0.03035
2	258	146	0.00631
3	490	270	0.01735
4	1032	549	0.00219

Таблица 1 Результаты сравнения (1).

2) . Точное решение задачи .

На рис. 6-9 продемонстрированы численные решения задачи при разных разбиениях .

Рис.6 Число узлов = 29

Рис.7 Число узлов = 146