Контрольная работа: Кручение упругопластического стержня

Пусть существуют различные , которые доставляют минимум функционалу .

Тогда, из (1.11) выполнено: (2.2.1)

(2.2.2)

Подставим в (2.2.1) вместо , в (2.2.2) вместо .

Получим (2.2.3)

(2.2.4)

Умножим (2.2.4) на -1:

Отсюда,

Форма – эллиптическая, .

Окончательно,

2.3 Устойчивость решения

Решение должно удовлетворять неравенству (2.3.1)

Перепишем неравенство (2.3.1) как (2.3.2)

Неравенство (2.3.2) выполняется для : (2.3.3)

Оценим правую часть неравенства (2.3.3) сверху:

(2.3.4)

Левую часть (2.3.3) оценим снизу:

(2.3.5)

Тогда (2.3.6)

- первое основное неравенство

3. Аппроксимация

, иначе

Рассмотрим семейство конечномерных пространств , каждое из которых является внутренней аппроксимацией пространства .

Будем строить по схеме метода конечных элементов.

Построим триангуляцию области . В результате получим область, где – число треугольников в разбиении, – i-тый треугольник разбиения.

Для каждого узла триангуляции построим аффинную функцию , обладающую следующими свойствами:

1.

2. , где – вершины, смежные с