Контрольная работа: Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь

Запишемо однорідну систему рівнянь

(9)

Вона має лінійно незалежні розв’язки:

які утворюють фундаментальну систему розв’язків системи (5).

Отже, система рівнянь (7) має загальний розв’язок

де С 1, С 2 - довільні сталі.

Загальний розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь подається не в одному й тому самому вигляді.

2. Метод Гауса

Метод Гауса розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь полягає в послідовному виключенні змінних і перетворенні системи рівнянь

(1)

до трикутного вигляду

(2)

Припустимо, що в системі (1) коефіцієнт . Якщо ця умова не виконується, то на перше місце переносимо таке рівняння, щоб виконувалась умова .

За допомогою першого рівняння виключимо х 1 із решти рівнянь. Обчислення виконаємо в таблиці:

Іноді вводять контрольний стовпець , що дає змогу виявляти помилки. Поділивши перший рядок на а 11, позначимо

.

Далі перший рядок множимо послідовно на а 21 і віднімаємо від другого рядка, множимо на а 31 і віднімаємо від третього рядка і т.д. Позначивши

,

дістанемо таблицю коефіцієнтів:

Для невідомих маємо систему рівнянь. Міркуючи, як і раніше, виключимо х 2 з усіх рівнянь, починаючи з третього. Для цього спочатку поділимо другий рядок на . Якщо коефіцієнт , то переставимо рівняння так, щоб виконувалася умова .

Позначивши

,

помножимо другий рядок послідовно на і віднімемо від третього рядка; на і віднімемо від четвертого рядка і т.д. Дістанемо таблицю коефіцієнтів:

Продовжуючи процес виключення невідомих, дістаємо нарешті таблицю: