Контрольная работа: Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь

(3)

Цю систему розв’язують, починаючи з останнього рівняння. Спочатку знаходять і підставляють в передостаннє рівняння, з якого визначають , і т.д.

Якщо система рівнянь з n невідомими має єдиний розв’язок, то ця система завжди може бути перетворена до трикутного вигляду.

Приклад. Знайдемо розв’язок системи рівнянь

за методом Гауса.

Складемо таблицю

Перший рядок віднімемо від другого. Далі помножимо перший рядок на другий і віднімемо від третього рядка. Дістанемо таблицю

Помножимо другий рядок на третій і додамо до третього рядка:

Поділивши останнє рівняння на 14, дістанемо систему

Послідовно знайдемо: . ·

У загальному випадку метод Гауса застосовується для дослідження та розв’язування системи рівнянь з n невідомими

(4)

Утворимо таблицю коефіцієнтів:

Скориставшись методом виключення Гауса і переставивши перші n стовпців, перетворимо таблицю до такого вигляду:

.

Якщо хоча б один із коефіцієнтів відмінний від нуля, то система рівнянь (4) несумісна і не має розв’язків. Якщо всі коефіцієнти , то система рівнянь (4) сумісна. У такому разі маємо r базисних невідомих, що відповідають першим r стовпцям, решта невідомих є вільними.

Приклад. Знайдемо розв’язок системи рівнянь

(5)

Утворимо таблицю коефіцієнтів системи:

Помноживши перший рядок на 2, віднімемо його від другого рядка. Потім перший рядок віднімемо від третього й дістанемо таблицю: