Контрольная работа: Розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь

Досі ми розглядали лише навчальні приклади зі сталими коефіцієнтами й цілочисловими розв’язками. Розглянемо складніший приклад.

Приклад. Розв’яжемо за методом Жордана-Гауса систему

Утворимо таблицю коефіцієнтів:

Поділивши перший рядок на 21, дістанемо таблицю:

Помножимо перший рядок на 2 і віднімемо від другого. Далі перший рядок помножимо на 4 і віднімемо від третього:

Поділимо другий рядок на 7,142857142:

Помножимо другий рядок на 0,571428571 і додамо до першого рядка; далі помножимо другий рядок на 2,714285716 і додамо до третього:

Поділимо третій рядок на 12,72666667:

Помножимо третій рядок на 0,04 і додамо до першого рядка; потім помножимо третій рядок на 0,486666667 і додамо до другого рядка:

Звідси дістанемо розв’язок:

х ₁ = 0,449973808, х ₂ = 0,308014618, х ₃ = 0,249345207,

який можна округлити згідно з точністю початкових даних.

Висновки

Метод Жордана-Гауса називають також методом послідовного виключення невідомих системи. Ідея методу Гауса полягає в наступному: за допомогою елементарних перетворень система приводиться до ступінчатої системи наступного вигляду

де .

Якщо , то ступінчату систему називають трикутною, якщо , то систему називають трапецевидною.

Ступінчату систему легко дослідити сумісна вона чи ні. Якщо ступінчата система містить хоч би одне рівняння виду , то система несумісна.

Елементарні перетворення зручно виконувати не над самою системою (1), а над її розширеною матрицею. Слід звернути увагу, щоб елементарні перетворення над розширеною матрицею співпадали з елементарними перетвореннями над системою. Так, наприклад, не можна до елементів стовпця матриці додавати відповідно елементи другого стовпця, помножені на деяке число, так як такого елементарного перетворення системи не існує.

Трикутна система має єдиний розв’язок. Із останнього рівняння знаходимо , потім, підставляючи його значення в попереднє рівняння, знаходимо . Далі аналогічним шляхом знаходимо .

Трапецевидна система має нескінченну множину розв’язків. В цьому випадку змінні вважаються вільними і їх переносимо в праві частини рівнянь, тоді головні змінні в процесі розв’язку системи будуть лінійними функціями змінних .

Слід відмітити, що метод Гауса застосовується і для розв’язку однорідних систем у випадку, коли і ранг матриці системи менше , а також для розв’язку систем, у яких число рівнянь більше числа невідомих.