Контрольная работа: Симплексный метод
Задача 1.
Решить задачу линейного программирования симплексным методом.
Вариант 3.
Найти наибольшее значение функции f(X) = - x1 - x2 + 2x3 при ограничениях
2x1 + x2 + x3 £ 2
x1 - x2 + x3 £ 1,
xj ³ 0, j = 1, 2, 3.
Решение.
Приведем задачу к каноническому виду, вводя дополнительные неотрицательные переменные x4,5 ³ 0.
f(X) = - x1 - x2 + 2x3 ® max
2x1 + x2 + x3 + x4 = 2
x1 - x2 + x3 + x5 = 1,
xj ³ 0, j = 1, 2, 3, 4, 5.
Каноническая задача имеет необходимое число единичных столбцов, т. е. обладает очевидным начальным опорным решением.
Очевидное начальное опорное решение (0; 0; 0; 2; 1).
Решение осуществляется симплекс-методом с естественным базисом. Расчеты оформим в симплекс-таблицах
| Номер симплекс-таблицы | Базис |
Cj Ci | B | -1 | -1 | 2 | 0 | 0 | Q |
| A1 | A2 | A3 | A4 | A5 | |||||
| 0 | A4 | 0 | 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | 0 | 2:1 = 1 |
| A5 | 0 | 1 | 1 | -1 | 1 | 0 | 1 | 1:1 = 1 | |
| j | - | 0 | 1 | 1 | -2 | 0 | 0 | ||
| 1 | A4 | 0 | 1 | 1 | 2 | 0 | 1 | -1 | 1:2 = 1/2 |
| A3 | 2 | 1 | 1 | -1 | 1 | 0 | 1 | ||
| j | - | 2 | 3 | -1 | 0 | 0 | 2 | ||
| 2 | A2 | -1 | 1/2 | 1/2 | 1 | 0 | 1/2 | -1/2 | |
| A3 | 2 | 3/2 | 3/2 | 0 | 1 | 1/2 | 1/2 | ||
| j | - | 5/2 | 7/2 | 0 | 0 | 1/2 | 3/2 |
Начальное опорное решение (0; 0; 0; 1; 1), соответствующее симплекс-таблице 0, неоптимальное, так как в D - строке есть отрицательные значения, наименьшее в столбце А3 . Этот столбец будет направляющим. Минимальное положительное оценочное отношение Q в строке А5 , эта строка направляющая. Направляющий элемент на пересечении направляющих строки и столбца. Столбец А5 выводим из базиса, а А3 - вводим в базис. После пересчета получаем симплекс-таблицу 1. Соответствующее опорное решение (0; 0; 1; 1; 0) не оптимально, так как в D - строке есть отрицательные значения, в столбце А2 .Этот столбец будет направляющим. Минимальное положительное оценочное отношение Q в строке А4 . В качестве направляющей строки возьмем А4 . Направляющий элемент на пересечении направляющих строки и столбца. Столбец А4 выводим из базиса, а А2 - вводим в базис. Опорное решение, соответствующее симплекс-таблице 2 (0; 1/2; 3/2; 0; 0) - оптимально, так как в D - строке нет отрицательных значений.
Отбрасывая значения дополнительных переменных х4 и х5 , получаем оптимальное решение исходной задачи:
х1 = 0, х2 = 1/2 = 0,5; х3 = 3/2 = 1,5; fmax = -1×0 - 1×0,5 + 2×1,5 = 2,5.
Задача 2.
Задание 1. Сформулировать экономико-математическую модель исходной экономической задачи.
Задание 2. Решить полученную задачу линейного программирования графическим методом.
Задание 3. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальное решение, используя теоремы двойственности.
Вариант 3.
Из 505 м2 ткани нужно сшить не более 150 женских и не более 100 детских платьев. На пошив одного женского и детского платья требуется соответственно 3 м2 и 1 м2 ткани. При реализации каждого женского платья получают 10 ден. единиц прибыли, а детского – 5 ден. единиц. Сколько нужно сшить женских и детских платьев, чтобы получить наибольшую прибыль?
Решение.
Задание 1.
--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--