Контрольная работа: Теорія і практика обчислення визначників

.

Визначник матриці трикутного вигляду обчислюється як добуток діагональних елементів. Доходимо висновку, що вихідний визначник дорівнює –3.

Задача 2. Обчислити визначник: .

Рішення. Для обчислення визначника скористаємося методом виділення лінійних множників. Насамперед відзначимо, що вихідний визначник є багаточленом 4-го степеня відносно х. Крім того, при х = 2 перший і другий рядки співпадають, тобто визначник дорівнює нулеві. Отже, х = 2 є коренем багаточлена. Далі зауважуємо, що при х = 6, х = 12, х = 20 перший рядок співпадає з третім, четвертим і п’ятим рядком відповідно. Виходить, ми встановили всі чотири корені полінома, тобто

det А= C(x – 2)(x – 6)(x – 12)(x – 20).

Для знаходження C відзначимо, що у визначник множник х⁴ входить з коефіцієнтом, який дорівнює 1/24, а в багаточлен, що стоїть в правій частині, – з коефіцієнтом який дорівнює 1. Тоді C = 1/24. У такий спосіб:

det А = (x – 2)(x – 6)(x – 12)(x – 20).

Задача 3. Обчислити визначник: .

Рішення. Зрозуміло, що вихідний визначник можна одержати, якщо до всіх елементів визначника додати х = 4. Тоді скористаємося методом зміни елементів визначника (властивість 13°). Одержуємо:

.

Визначник діагонального вигляду дорівнює добуткові діагональних елементів (5! = 120). Алгебраїчні доповнення дорівнюють: А₁₁ = 5! = 120;

А₂₂ = 3^. 4^. 5 = 60; А₃₃ = 2^. 4^. 5 = 40; А₄₄ = 2^. 3^. 5 = 30 і А₅₅ = 2^. 3^. 4 = 24.

Решта А_ij = 0. Одержуємо: det А = 120 + 4(120 + 60 + 40 + 30 + 24) = 120 + 4^. 274 = 1216.

Задача 4. Обчислити визначник n-го порядку .

Рішення. Розкриємо визначник за елементами 1-го рядка:

,

а останній визначник розкриємо за елементами 1-го стовпця. Одержуємо:

D_n = 5D_{n – 1} – 4D_{n – 2} . (*)

Записане співвідношення називається рекурентним співвідношенням і дозволяє виразити D_n через такі ж визначники більш низького порядку.

З (*) одержуємо:

1) D_n – D_{n – 1} = 4(D_{n – 1} – D_{n – 2} ) = 4² (D_{n – 2} – D_{n – 3} ) = … = 4^{n – 2} (D₂ – D₁ ) =

= 4^{n – 2} (21 – 5) = 4ⁿ .

2) D_n – 4D_{n – 1} = D_{n– 1} – 4D_{n – 2} = D_{n– 2} – 4D_{n – 3} = … = D₂ – 4D₁ = 21 – 4^. 5 = 1.

3)

Маємо систему рівнянь: . Віднімаючи з 1-го рівняння 2-е, одержуємо: 3D_{n – 1} = 4ⁿ – 1. У такий спосіб: .

4. Задачі і вправи для самостійного розв’язування

1. Визначити число безладів у перестановках (за вихідне розташування завжди, якщо немає особливих вказівок, приймається розташування 1, 2, 3, ... у зростаючому порядку):

а) 2, 1, 5, 4, 3; б) 6, 3, 2, 5, 1, 4; в) 7, 5, 6, 4, 1, 3, 2;

г) 2, 1, 7, 9, 8, 6, 3, 5, 4; д) 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.