Контрольная работа: Теорія і практика обчислення визначників

2. З'ясувати, які з наведених нижче добутків входять у визначники відповідних порядків і, якщо входять, то з яким знаком:

а) а₄₃ а₂₁ а₃₅ а₁₂ а₅₄ ; б) а₁₃ а₂₄ а₂₃ а₄₁ а₅₅ ;

в) а₆₁ а₂₃ а₄₅ а₃₆ а₁₂ а₅₄ ; г) а₃₂ а₄₃ а₁₄ а₅₁ а₆₆ а₂₅ ;

д) а₂₇ а₃₆ а₅₁ а₇₄ а₂₅ а₄₃ а₆₂ ; е) а₃₃ а₁₆ а₇₂ а₂₇ а₅₅ а₆₁ а₄₄ ;

ж) а₁₂ а₂₃ а₃₄ …а_{n–1 n} а₂₅ а_kk (1 £ k £ n); з) а₁₂ а₂₃ а₃₄ …а_n-1n а_n1n .

Dа) –; б) не входить у визначник; в) +; г) +; д) не входить у визначник; е) +; ж) не входить у визначник; з) (–1)ⁿ . ▲

3. Вибрати значення i і k так, щоб наступні добутки входили у визначники відповідного порядку із зазначеним знаком:

а) а_1i а₃₂ а_4k а₂₅ а₅₃ з « + »; б) а₆₂ а_i5 а₃₃ а_k4 а₄₆ а₂₁ з « – »;

в) а₄₇ а₆₃ а_1i а₅₅ а_7k а₂₄ а₃₁ з « + ».

Dа) i = 1, k = 4; б) i = 5, k = 1; в) i = 6, k = 2. ▲

4. Користуючись тільки визначенням, знайти члени визначників, які мають у собі множники х⁴ і х³ :

а) ; б) .

Dа) 2х⁴ , –х³ ; б) 10х⁴ , –5х³ . ▲

5. Знайти члени визначника 4-го порядку а) що містять елемент а₃₂ і входять у визначник зі знаком « + »; б) що містять елемент а₂₃ і входять у визначник зі знаком « – ».

Dа) а₁₁ а₂₄ а₃₂ а₄₃ , а₁₃ а₂₁ а₃₂ а₄₄ , а₁₄ а₂₃ а₃₂ а₄₁ ; б) а₁₁ а₂₃ а₃₂ а₄₄ , а₁₂ а₂₃ а₃₄ а₄₁ , а₁₄ а₂₃ а₃₁ а₄₂ . ▲

6. Виписати всі члени визначника 5-го порядку, що мають вигляд . Що вийде, якщо з їхньої суми винести а₁₄ а₂₃ за дужки?

D. ▲

7. Як зміниться визначник n-гопорядку, якщо всі його стовпці записати в зворотному порядку? DВизначник помножиться на (–1)^(n(n–1))/2 . ▲

8. Не розкриваючи визначників, довести, що:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ; д) .

Dа) властивості 7, 3; б) властивості 7, 3, 5; в) властивості 7, 3, 5; г) властивість 5;

д) властивість 5. ▲

9. Знайти мінори елементів а₁₃ , а₂₄ , а₄₃ визначника .

DМ₁₃ = 24; М₂₄ = – 126; М₄₃ = 52. ▲

10. Знайти алгебраїчне доповнення елементів а₁₄ , а₂₃ , а₄₂ визначника

.