Контрольная работа: Застосування сплайн-функцій до розв’язування задач інтерполяції
Мал. 2 - Графік В-сплайна
В-сплайн довільного степеня може бути відмінним від нуля лише на деякому відрізку (визначеному
вузлами)[4].
2 Кубічні B -сплайни
2.1 Формули задання кубічних B-сплайнів
Зробивши аналогічні дії, що й при квадратичному В-сплайні, ми отримаємо формулу (15) для кубічного В-сплайна:
Зауваження. Кубічні В-сплайни зручніше нумерувати так, щоб сплайн був відмінний від нуля на відрізку
[5]. Запишемо тепер
у випадку рівномірної сітки (з кроком
) його:
(15’)
Типічний графік кубічного В-сплайну показано на мал. 3:
Мал. 3 - Типічний графік кубічного В-сплайну
2.2 Базис у просторі кубічних сплайнів
Функція :
а) двічі неперервно диференційовна на відрізку ;
б)відмінна від нуля тільки на чотирьох відрізках
Відрізок називають носієм функції
[6].
Доповнимо розбиття допоміжними вузлами:
,взятими довільно.
За розширеною сіткою:
:
можна побудувати сім’ю з
кубічних В-сплайнів:
,
Ця сім’я утворює базис в просторі кубічних сплайнів на відрізку . Тим самим довільний кубічний сплайн
, побудований по розбиттю
із
вузла, може бути представлений на цьому відрізку в вигляді лінійної комбінації:
Умовами задачі коефіцієнти цього розбиття визначаються однозначно [7].
2.3 Задачі інтерполяції з граничними умовами першого та другого роду
У випадку коли задані значення функції в вузлах сітки і значення
і
першої похідної функції на кінцях сітки (задача інтерполяції з граничними умовами першого роду), коефіцієнти
обчислюються із системи наступного вигляду:
, де
(16)
Після виключення і
отримується лінійна система з невідомими
і 3-діагональною матрицею, яку можна розв’язати, як методом Гауса, так і методом прогонки [8].