Математика / Контрольная работа: Застосування сплайн-функцій до розв’язування задач інтерполяції

Контрольная работа: Застосування сплайн-функцій до розв’язування задач інтерполяції

І, нарешті із першого виразу (22), замінюючи x на x-2, отримаємо:

. (27)

Тоді остаточний варіант інтерполяційного виразу, основаного на застосуванні нормованих кубічних В-сплайнів, отримаємо шляхом підстановки виразів (24)-(27) в (23)

(28)

Вираз (28) дає четвертий порядок апроксимації функції по кроку h 0( h ⁴ ) . Якщо в формулі (28) виключити коефіцієнти, виразивши їх через значення апроксимуючої функції у вузлах, то отримаємо:

, де (29)

(30)

Більш високий порядок апроксимації можна отримати за допомогою так званих напружених сплайнів, при цьому інтерполяційний вираз (29) зберігає свій вигляд, а функції, які входять до його складу задаються так:

, (31) де

;; ;

; ; .

Інтерполяційний вираз виду (29) використовується, як для визначення шуканих величин між вузлами координатної сітки, так і для апроксимації частинних похідних, котрі входять до складу повної системи рівнянь [8].

2.5 Практичність вивчення кубічних В-сплайнів у вищих навчальних закладах

В-сплайни є більш практичні у використанні ніж природні сплайни, оскільки поліноміальні коефіцієнти природних сплайнів вимагають всіх вузлових точок. Їх обчислення залучає розв’язання вимірних матриць. У цьому є два недоліки: переміщення однієї вузлової точки зачіпає всю криву і під час розв’язування матриці можна зіткнутися з швидкою зміною кривої. З іншого боку, В-сплайни складаються з сегментів кривих, залежних тільки від кількох вузлових точок. Це називається локальним контролем. Таким чином, переміщення вузлової точки зачіпає тільки маленьку частину кривої. B-сплайни мають ту ж саму неперервність, як і природні сплайни, але не інтерполюють їх вузлові точки. Тому, ми говоримо про наближення багатокутника, а не про вставку вузлової точки.

Першим кроком є вибір порядку базису сплайнів, щоб досягати бажану гладкість і полегшити обчислювання.

Як найефективніші, були вибрані кубічні В-сплайни, тобто сплайни третього порядку, через наступні причини:

1. Поліноми нижніх степенів дають дуже низьку гнучкість в управлінні формою кривої. В-сплайни першого порядку (прямі лінії) не дають задовільної гладкості апроксимуючої кривої. В-сплайни другого порядку дають гладку криву, але проблема виникає в точках, де з'єднуються сегменти кривої. Щоб зрозуміти цю проблему, ми введемо нове означення:

Означення . Позначимо сегмент кривої. Якщо напрям і величина і рівні в точці з'єднання, крива, що складається з цих двох сегментів, називається неперервною.

В-сплайни другого порядку і неперервні, що не гарантує задовільну неперервність в об'єднаних точках. Проблема вирішується, використовуючи кубічні В-сплайни, які є , і і неперервними.

2.Поліноми вищого степеня віднімають багато часу в обчислювальному процесі і можуть нести небажані скачки. Крива може "скакати" назад і вперед важко керованими способами.

3. Кажучи, що кубічні В-сплайни дають "задовільну" неперервність, мається на увазі, що око не може виявити геометричну неоднорідність степеня вище, ніж два і практично досить використовувати В-сплайни третього ступеня [9].

Отже, хоч кубічні В-сплайни і є методом, важчим у розрахунках, ніж інші, відомі методи, які застосовуються у задачах для наближення, але він дає набагато точніший результат, і є просто незамінним при розв’язуванні задач, які неможливо розв’язати іншими методами.

3. Практична частина

3.1 Задача №1

Потрібно інтерполювати (використовуючи задачу першого або другого роду) одну з відомих функцій, з допомогою кубічних В-сплайнів, у випадку рівномірної сітки розбиття.

Розв’язання: Для розв’язання цієї задачі візьмемо функцію і будемо її інтерполювати на відрізку , розбивши його на 6 рівних частин (). Маємо рівномірну сітку, отже будемо користуватися формулою (15’). Знайдемо і (задача інтерполяції першого роду): ,