Контрольная работа: Застосування сплайн-функцій до розв’язування задач інтерполяції

(16’)

таким самим чином, як і під час розв’язування задачі інтерполяції першого роду.

2.4 Апроксимація кубічними В-сплайнами

Нехай задана таблиця чисел і , котрі є значеннями функції і її першої похідної у вузлах a _i , i =0,1, ..., N . Необхідна апроксимувати функцію W (a ) з допомогою цих даних.

Розглянемо апроксимацію кубічними В-сплайнами. Конструкція нормованого

кубічного В -сплайна зазвичай задається так:

(17)

В правій частині (17) стоять многочлени третього степеня виду:

(18)

Коефіцієнти a_i , b_i , c_i , d_i визначаються із системи чотирьох рівнянь, отриманих при умовах: и . В результаті її розв’язку можна записати:

(19)

, ,

При конкретизації виразу (18) використовуються формули (19), що задовольняють умови стику у вузлах a_{i -2} , a_{i -1} , a_i , a_{i +1} для сплайнів:

(20)

Та їх похідних по a, позначених штрихом:

(21)

В роботі Б.Зав’ялова [6] для рівномірної сітки i =0,1, ... , N , задовольняючи наступні умови (20), (21), отримано такий вираз для

Тут , а також з’ясовано, що S ₀ =2/3, S_* =1/6, S_** =1/2h.

Загальний інтерполяційний вираз, в якому використовуються нормовані кубічні В -сплайни (22), записуються так:

, (23)

де , а . Коефіцієнти b_i+1 ,b_i+2 визначаються із умов, що задовольняють значення функції W (a), відомих в деяких вузлах . Зазвичай вибирають , , а задовольняють нерівність: .

Запишемо (23) в розгорнутому вигляді. Для цього, використавши (22) отримаємо всі вирази для . Сплайн отримаємо із четвертої рівності (22), якщо там формально замінити x на 1+ x . Тоді

(24)

Вираз для береться безпосередньо із (22)

(25)

Сплайн записується на основі другої рівності (22) шляхом формальної заміни x на x-1