Курсовая работа: Аналогія: теорема Піфагора на площині і в просторі

Рис.8

Доведення 8

Прямокутний трикутник АСВ з прямим кутом С повернемо навколо точки С на 90° так, щоб він зайняв положення А´СВ´ ( Рис. 8 ).Продовжимо гіпотенузу А´В´ до перетину з АВ у точці D. Відрізок В´D буде висотою трикутника В´АВ.

Розглянемо тепер чотирикутник А´АВ´В. Його можна розкласти на два рівнобедрені трикутники СА´А і СВ´В. Маємо:

Ы_{Δ СФ ´ Ф} = б Ы_{Δ СИ ´ И} = ю

Таким чином

Ы_{Ф ´ ФИ ´ И} = Ы_{Δ СФ ´ Ф} + Ы_{Δ СИ ´ И} =ю

Трикутники АА´В´ і ВА´В´ мають спільну основу В´А´ і висоти AD і BD відповідно. Тому

Ы_{Ф ´ ФИ ´ И} = Ы_{Δ А Ф ´В´} + Ы_{Δ ВА´ И} = ю

Порівнявши два вирази для площі чотирикутника А´АВ´В, одержимо:

, тобто

1.2 Теорема Піфагора та цілочислові прямокутні трикутники

Співвідношення між сторонами прямокутного трикутника, яке подається в підручниках математики та інших джерелах під назвою теореми Піфагора, було відоме з давніх часів. Так, клинописі пам'ятки Вавілона свідчать про те, що за 2-2,5 тисячі років до нашої ери там уже користувалися названим співвідношенням для обчислень. Було відоме воно і стародавнім єгиптянам (за 2300 років до н.е.) ,про що свідчить папірус Берлінського музею. Чому ж ця закономірність названа ім'ям Піфагора, який жив у VIcт. до н.е., тобто значно пізніше?

Піфагор, про життя якого є лише відомості, переписані легендами, народився на о. Самос. У молоді роки він багато подорожував і цілком імовірно, що, відвідавши країни Стародавнього Сходу, познайомився з відомою вже там закономірністю про співвідношення між сторонами прямокутного трикутника. Повернувшись на батьківщину (в Грецію) та оселившись у м. Кротоні, Піфагор заснував філософську школу і серйозно зайнявся систематизацією та узагальненням математичних знань. Піфагор систематизував здобуті фрагментарні відомості про прямокутний трикутник, дав їм логічне обґрунтування, зробивши їх надбанням своїх співвітчизників.

Першопрохідці помітили, що рівність a² +b² =c² (1) справджується при натуральних значеннях довжин катетів а і b та гіпотенузи с, бо інших чисел вони не знали.

З’ясуємо насамперед, чи є такі три послідовності натуральних чисел, що задовольняють рівність (1). Якщо є, то скільки таких трійок чисел?

Нехай a=n -1; b=n ; c=n+1. Тоді (n -1)² +n² =(n+1)² , звідки n² -4n=0; n₁ =0; n₂ =4. Умову задачі задовольняє n=4.

Отже, маємо трійку чисел 3,4,5, для яких 3² +4² =5 ² .Оскільки інших розв’язків рівняння не має, то існує лише одна така трійка чисел.

Прямокутний трикутник зі сторонами 3, 4 і 5 був відомий стародавнім єгиптянам. Ним вони користувалися, будуючи прямі кути під час землевимірювальних робіт. Поділивши вірьовку на 12 рівних частин, закріплювали її кілками в поділках, які від одного кінця відділяли 3 відрізки, а від другого – 5. Натягуючи вільні кінці вірьовки та суміщаючи їх, діставали прямокутний трикутник з прямим кутом між відрізками 3 і 4 одиниці. Людей, які займалися цією справою, називали гарпедонаптами (натягувачі вірьовок), а прямокутний трикутник зі сторонами 3, 4, і 5 дістав назву єгипетського.

Назвемо прямокутні трикутники довжини сторін яких виражаються цілими числами, цілочисловими. Зрозуміло, що трикутники зі сторонами 3k, 4ki 5k прямокутні цілочислові, бо (3k)² +(4k)² =(5k)^{2 ↔} 3² +4² =5 ² . Таких трикутників безліч.

Чи існують цілочислові прямокутні трикутники, крім єгипетського, довжини сторін яких – три числа, що мають найбільшим спільним дільником число 1? Шукатимемо такі трикутники, тобто такі трійки натуральних чисел, які задовольнятимуть зазначену вище умову. Виходячи з умови, вони не можуть бути всі парними, але не можуть бути й не парними,бо , якщо a і b непарні, то с парне. (Зазначимо тут, що коли, наприклад, a парне, то a² кратне 4, бо якщо a=2п ,то a² =4п^2. Якщо a непарне, тобто a=2п+1, то a² =4п² +4п+1=4п₁ +1 – непарне).

Взагалі, якщо будь-які два числа з трійки натуральних чисел a, b і c ,що задовольняють a² +b² =c² (такі числа називають піфагоровими), мають спільний дільник відмінний від 1, то він буде також дільником і третього числа. Отже, будь-яка пара чисел з шуканих трійок є взаємно-простими числами. Нехай aнепарне і bпарне, тоді c також непарне.

Маємо :

a² +b² =c² ↔b² =c² - a² ↔ b² =(c-a)(c+a).(2)

Числа (c-a) і (c+a) парні, тому тому і цілі ; b² кратне 4, тому ціле .З рівності ( 2 ) дістанемо:

= * (3).

Числа і взаємно прості. Справді, якщо припустити протилежне, то

=ир₁ і =ир₂ .