Курсовая работа: Аналогія: теорема Піфагора на площині і в просторі

Дістанемо рівняння

Розв’язуючи його, одержимо:

Тоді

У другому випадку відповідь буде та сама

Рис. 4.2

Рис. 5

Задача 5

На сторонах рівнобедреного прямокутного трикутника з катетом побудовані квадрати зовні трикутника. Центри цих квадратів з'єднані між собою прямими лініями. Знайти площу одержаного трикутника.

Розв'язання

Нехай

ΔАВС, C = 90°, АС = ВС = b,

ABMN,ACDF, BCKL- квадрати

Неважко переконатись в тому, що ΔO₁ O₂ O₃ – рівнобедрений, O₁ C – висота(рис.5).

Тоді.

За теоремою Піфагора

Таким чином,

Розділ 2. Теорема Піфагора у просторі або стереометричний аналог теореми Піфагора

Метод аналогії є одним з ефективних і розповсюджених методів математики. Його застосування приводить до плідних і часто до неочікуваних результатів.

Деякі властивості трикутника і тетраедра схожі, а деякі геометричні поняття, пов’язані з трикутником , мають просторові аналоги: наприклад, сторона трикутника – грань тетраедра, довжина сторони – площа грані, вписане коло – вписана сфера, площа – об’єм,бісектриса кута – бісектор двогранного кута тощо. Багато теорем про трикутники, якщо замінити в їх формулюванні планіметричні терміни відповідними стереометричними і конкретно сформулювати, то вони перетворюються в теореми про тетраедри. Однією з таких є аналог теореми Піфагора в стереометрії.

Означення. Якщо три ребра, які виходять з однієї вершини тетраедра, попарно ортогональні, то тригранний кут, що визначається ними, називається прямим, а тетраедр – прямокутним.

Теорема (стереометричний аналог теореми Піфагора).У прямокутному тетраедрі квадрат площі грані, що лежить проти прямого тригранного кута, дорівнює сумі квадратів площ решти граней.