Курсовая работа: Аналогія: теорема Піфагора на площині і в просторі

С = и (р₁ +р₂ ) і а = и (р₁ -р₂ ),

тобто числа с і а матимуть спільний дільник и, що суперечить умові.

Добуток двох взаємно простих чисел є точним квадратом (рівність 3) лише в тому випадку, коли кожне з цих чисел є точним квадратом. Нехай

=х² ; =у² , тоді с=х² +у² ; а=х² -у² і =х² у² , або =(2ху)² ; b=2ху.

Маємо тотожність

(х² -у² )² +(2ху)² =(х² +у² )² .

Формули

а=х² -у² ; b=2ху і с=х² +у²

дають можливість обчислювати a, b і c за значеннями х і у.

Якщо числа х і у взаємно прості й до того ж одне з них парне, а друге непарне, то трійки (a,b,c) будуть саме такі, як у вихідній задачі(найбільший спільний дільник a, b, c дорівнює 1) . Такі трійки піфагорових чисел називаються основними.

Основні трійки піфагорових чисел модна дістати, склавши таку таблицю.

х	2	3	4		5		6		7			8
у	1	2	1	3	2	1	1	5	2	4	6	1	3	5	7
a=x2 -y2 b=2xy c=x2 +y2	3 4 5	5 12 12	15 8 17	7 24 25	21 20 29	9 40 41	35 12 37	11 60 61	45 28 53	33 56 65	13 84 85	63 16 65	55 48 73	39 80 89	15 112 113

Її можна продовжити як завгодно довго. Отже, таких трійок чисел безліч.

Єгипетський трикутник, як видно з таблиці, дістанемо, якщо х=2, у=1. Помічаємо також, що коли х-у=1, гіпотенуза більша від більшого катета на 1. Це природно, бо коли

х=у+1, b=2xy=2у(у+1)=2у² +2у; с=(у+1)² +у² =2у² +2у+1 і тому с-b=1.

При цьому менший катет а=х² -у² =2у+1, а різниця довжин катетів b-а=2у² -1.Цей вираз дорівнює 1 тільки тоді, коли у=1. Знову приходимо до висновку, що існує лише один прямокутний трикутник, довжини сторін якого виражаються трьома послідовними натуральними числами.

Сума довжин гіпотенузи й катета b є точний квадрат, бо

с+b=х² +у² +2ху=(х+у)² .

Точним квадратом є також і їх різниця, тобто

с-b=х² +у² -2ху=(х-у)² .

Якщо х-у=п, то с-b=п² . Наприклад, якщо х=5 і у=2, маємо b=20 і с=29;

х+у=7; b+с=20+29=49=7² ; с-b=29-20=9=3² .

Зрозуміло,що з кожної основної трійки піфагорових чисел модна дістати безліч похідних, бо

a² +b² =c² ↔(3а)² +(4b)² =(5с)²

Наприклад, маючи трійку (3;4;5), дістанемо трійки (6;8;10), (9;12;15), (12;16;20) та ін.

До речі, усі трійки піфагорових чисел, які походять від основної трійки (3;4;5), і основна трійка є арифметичними прогресіями. Інших трійок піфагорових чисел, які б були арифметичними прогресіями немає.

Неважко показати, що серед основних трійок(а отже, і похідних) немає жодної, яка була б геометричною прогресією.

Припустимо, то така трійка (а;b;с) існує. Тоді b² =ас і значить а² +ас=с² . Звідси ас=с² -а² , або ас=(с+а)(с-а). Числа а і с непарні, тоді як (с+а) і (с-а) парні. Отже рівність, хибна, а це означає, що зроблене неправильне припущення.

Похідні трійки можна дістати також, надаючи х і у цілих значень(крім тих, при яких дістанемо основні трійки) або коли іНаприклад, якщо х=4 і у=2, то а=12;b=16; ic=20. Такий результат можна дістати, помножаючи числа 3, 4 і 5 на 4.Якщо і, то а=6, b=8 і с=10; це можна також дістати, помноживши на 2 числа 3, 4 і 5.

Якщо, наприклад, х=1000 і у=999, то дістанемо основну трійку