Курсовая работа: Дифференциальное исчисление

3) вычислить предел разностного отношения при :

.

д) Непрерывность дифференцируемой функции.

Сформулируем и докажем необходимое условие существования производной.

Теорема: Если функция f(x) имеет производную в точке x₀ , то она непрерывна в этой точке.

Согласно условию теоремы функция f(x) в точке x₀ дифференцируема, т.е. существует предел:

Используя свойство предела, запишем это равенство в следующем виде:

,

где . Домножим равенство на (х – х₀ ), находим, что дифференцируемая в точке x₀ функция представима в окрестности этой точки в виде:

,

где . Переходя к пределу при в равенстве получаем:

.

Последнее означает непрерывность функции f(x) в точке x₀ .

Замечание. Из доказанной теоремы легко усмотреть, что если функция не является непрерывной в некоторой точке, то она в этой точке не имеет производной.

Таким образом, непрерывность в точке – необходимое условие дифференцируемости в точке. Далее заметим, что непрерывность функции в точке не является достаточным условием существования производной этой функции в рассматриваемой точке, т.е. из непрерывности функции в точке не следует ее дифференцируемость в этой точке.

3. Ответы на вопросы учащихся время 10 мин.

4. Закрепление нового материала время 20 мин.

Самостоятельная работа по 4 вариантам

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА ПО 4 ВАРИАНТАМ

1. Найти мгновенную скорость в момент времени t₀ свободного падения тела в поле тяжести Земли (I, II, III, IV).

2. Точка движется прямолинейно по закону x(t) = V₀ t + . Найдите мгновенную скорость этой точки:

I в.: при t = 0

II в.: в момент t₀

III в.: при t = 7

IVв.: в момент времени t = 7c

3. Найдите производную функции:

I в.: f(x) = x²

II в.: f(x) = 2x³ + 4x + 4