Курсовая работа: Дифференциальное исчисление

4. Вычисление производной на основе ее определения.

Исходя из определения производной сформулируем следующее правило нахождения производной функции в точке:

Чтобы вычислить производную функции f(x) в точке x₀ нужно:

1) Найти f(x) - f(x₀ );

2) составить разностное отношение ;

3) вычислить предел разностного отношения при :

.

5. Непрерывность дифференцируемой функции.

Сформулируем и докажем необходимое условие существования производной.

Теорема: Если функция f(x) имеет производную в точке x₀ , то она непрерывна в этой точке.

Согласно условию теоремы функция f(x) в точке x₀ дифференцируема, т.е. существует предел:

Используя свойство предела, запишем это равенство в следующем виде:

,

где . Домножим равенство на (х – х₀ ), находим, что дифференцируемая в точке x₀ функция представима в окрестности этой точки в виде:

,

где . Переходя к пределу при в равенстве получаем:

.

Последнее означает непрерывность функции f(x) в точке x₀ .

Замечание. Из доказанной теоремы легко усмотреть, что если функция не является непрерывной в некоторой точке, то она в этой точке не имеет производной.

Таким образом непрерывность в точке – необходимое условие дифференцируемости в точке. Далее заметим, что непрерывность функции в точке не является достаточным условием существования производной этой функции в рассматриваемой точке, т.е. из непрерывности функции в точке не следует ее дифференцируемость в этой точке.

Методика проведения урока.

Захожу в кабинет, здороваюсь с учащимися.

Начинается вводная часть урока.

I . Вводная часть:

1. Организационный момент: проверка по рапортичке время 2 мин.

Проверяю наличие учащихся по рапортичке. На проверку наличия учащихся на уроке отвожу 2 минуты. Затем делаю опрос домашнего задания.

2. Проверка домашнего задания: время 15 мин.

Тест