Курсовая работа: Дифференцирование в линейных нормированных пространствах
||L1 h— L2 h|| = o(h)для операторов
Li ж (X, У), i= 1, 2,
возможно, лишь если L1 = L2 .
Установим теперь некоторые элементарные факты, непоcредственно вытекающие из определения производной.
Если F(x) = y0 = const, то F'(x) = О (т. е. F'(х)
в этом случае есть нулевой оператор).
Производная непрерывного линейного отображения Lесть само это отображение:
L'(x)=L(3)
Действительно, по определению имеем
L(x+ h)-L(x) = L(h).
3. (Производная сложной функции). Пусть X, У, Z— три нормированных пространства, U(x0)—окрестность точки х0 Х, F — отображение этой окрестности в У, у0 = F(x0 ), V(yo ) — окрестность точки у0 У и G— отображение этой окрестности в Z. Тогда, если отображение Fдифференцируемо в точке хо , aGдифференцируемо в точке уо , то отображение Н = GF(которое определено в некоторой окрестности точки х0 ) дифференцируемо в точке хо и
H' (x0 )=G' (y0 )F' (x0 ) (4)
Действительно, в силу сделанных предположений
А(ч0 +о) = А(ч0 ) + Аэ (ч0 ) о +о1 (о ) и
G(уо + з) = G(уо ) + G' (уо ) з + о2 (з).
НоF ' ( x 0 ) иG '( yo ) — ограниченные линейные операторы. Поэтому
H(х0 + о) = G(уо + F' (x0 ) о + о1 о ) = G(уо ) + G' (у0 ) (F' (х0 ) о + +о1 о)) +
+о2 (F' (x0 ) о + о1 (о )) = G(у0 ) + G' (уо) F' (х0 ) о + о3 (о).
Если F, Gи Н — числовые функции, то формула (4) превращается в известное правило дифференцирования сложной функции.
4. Пусть Fи G— два непрерывных отображения, действующих из X в Y. Если Fи Gдифференцируемы в точке х0 , то и отображения F+ Gи aF(а — число) тоже дифференцируемы в этой точке, причем
(F+ G)'(х0 ) = F'(х0 ) + G'(х0 ) (5)
(aF)'(x0 ) = aF'(x0 ).(6)
Действительно, из определения суммы операторов и произведения оператора на число сразу получаем, что
(F+G)(x0 + h) = F(x0 + h) + G(x0 + h) = F(х0 ) + G(х0 ) + F' (х0 ) h+
+G' (х0 ) h+ o1 (h) и
aF (x0 + h) = aF (x0 ) + aF' (x0 ) h + o2 (h),
откуда следуют равенства (5) и (6).
Слабый дифференциал (дифференциал Гато)
Пусть снова Fесть отображение, действующее из X в У. Слабым дифференциалом или дифференциалом Гато отображения Fв точке х (при приращении h)называется предел
DF(x,h)=t =0 =,