Курсовая работа: Дифференцирование в линейных нормированных пространствах

Мы говорим, что задано билинейное отображение пространства X в пространство У, если каждой упорядоченной паре элементов х, х' из X поставлен в соответствие элемент у=В(х, х') У так, что выполнены следующие условия:

1. для любых из X и любых чисел имеют место равенства:

В (x₁ + х₂ , ) =В (,)+В (х₂ , ),

В (x₁ , +) = В (,)+В(x_1, );

2. существует такое положительное число М, что

||В(х, х') || M||x||||x’|| (17)

при всех х, х'X.

Первое из этих условий означает, что отображение В линейно по каждому из двух своих аргументов; нетрудно показать, что второе условие равносильно непрерывности В по совокупности аргументов.

Наименьшее из чисел М, удовлетворяющих условию (17), называется нормой билинейного отображения В и обозначается ||В||.

Линейные операции над билинейными отображениями определяются обычным способом и обладают обычными свойствами.

Таким образом, билинейные отображения пространства X в пространство У сами образуют линейное нормированное пространство, которое мы обозначим В(Х² , У). При полноте У полно и В(Х² , У).

Каждому элементу А из пространства о(Х,о(Х,У)) можно поставить в соответствие элемент из В(Х² , У), положив

В(х, х') = (Ах)х'.(18)

Очевидно, что это соответствие линейно. Покажем, что оно также и изометрично и отображает пространство о(X,о(Х,У)) на все пространство B(X² ,Y).Действительно, если у=В(х, х') = (Ах)х', то

||y||||Ax||||x’||||A||||x||||x’||,

откуда

||B||||A||(19)

С другой стороны, если задано билинейное отображение В, то при фиксированном xX отображение

х'→ (Ах)х' = В(х, х')

есть линейное отображение пространства X в У.

Таким образом, каждому xX ставится в соответствие элемент Ах пространства о(X,У); очевидно, что Ах линейно зависит от х, т. е. билинейное отображение В определяет некоторый элемент А пространства о(Х, о(Х, У)). При этом ясно, что отображение В восстанавливается по А при помощи формулы (18) и

||Ах||= ||(Ax)x'||= ||В(х,x') ||B||||x||,

Откуда

||A||||B||(20)

Сопоставляя (19) и (20), получаем||A|| = ||В||. Итак, соответствие между B(X² ,Y)и о{X, о(X,Y)), определяемое равенством (18), линейно и изометрично, а следовательно, взаимно однозначно. При этом образ пространства о(Х, о(Х, У)) есть все В(Х² , У).

Мы выяснили, что вторая производная F"(x)есть элемент пространства о(X, о (X, У)). В соответствии с только что сказанным мы можем считать F"(x)элементом пространства В(Х² , Y).

Очевидным образом можно ввести понятие третьей, четвертой и вообще п-й производной отображения F,действующего из X в Y,определив п-ю производную как производную от производной (п—1)-го порядка. При этом, очевидно, п-я производная представляет собой элемент пространства о(Х, о(Х, ..., о(X, У))). Повторяя рассуждения, проведенные для второй производной, можно каждому элементу этого пространства естественным образом поставить в соответствие элемент пространства N(Х^п , У) n-линейных отображений X в У.

При этом под n-линейным отображением понимается такое соответствие y=N(x', х", ...,x^{( n )} ) между упорядоченными системами (х', х", .. . , x^{( n )} ) элементов из X и элементами пространства У, которое линейно по каждому из хⁱ при фиксированных остальных элементах и удовлетворяет при некотором М > 0 условию

|| N (x', х", ..., x^{( n )} ) ||М || х' || • || х" || ... || x^{( n )} ||.