Иногда, следуя Лагранжу, выражение DF(x,h)называют первой вариацией отображения Fв точке х.

Слабый дифференциал DF(x,h)может и не быть линеен по h.Если же такая линейность имеет место, т. е. если

DF(х, h) = F'_c (х) h,

гдеF'_c (х) — ограниченный линейный оператор, то этот оператор называется слабой производной (или производной Гато).

Заметим, что для слабых производных теорема о дифференцировании сложной функции, вообще говоря, неверна.

Формула конечных приращений

Пусть О — открытое множество в X и пусть отрезок [х₀ , х] целиком содержится в О. Пусть, наконец, Fесть отображение X в У, определенное на О и имеющее слабую производную F'_c в каждой точке отрезка [х₀ , x]. Положив Дх = х — х_о и взяв произвольный функционал У*, рассмотрим числовую функцию

f(t) = (F(x₀ +tДх)),

определенную при .Эта функция дифференцируема по t.Действительно, в выражении

можно перейти к пределу под знаком непрерывного линейного функционала. В результате получаем

F'(t) = (F'_c (x₀ +tДx) Дx)

Применив к функции fна отрезке [0, 1] формулу конечных приращений, получим

f(l) = f(0) + f'(и), где 0< и <1,

(F(x)-F(x₀ ))= (F'_c (x₀ + и Дx) Дx)(7)

Это равенство имеет место для любого функционала У* (величина и зависит, разумеется, от). Из (7) получаем

|(F(x)-F(x₀ ))|||F'_c (x₀ + и Дx)|||| Дx|| (8)

Выберем теперь ненулевой функционал так, что

(F(х) - F(х₀ )) = || || || F(х) - F(хо) ||

(такой функционал существует в силу следствия 4 теоремы Хана — Банаха (см. п. 3 § 1 гл. IV)). При этом из (8) получаем

||(F(х) - F(x)|||| F'_c (x₀ + и Дx)||||Дx|| ( Дx= x - x ₀ ) (9)

Это неравенство можно рассматривать как аналог формулы конечных приращений для числовых функций. Применив формулу (9) к отображению

х —Ю А (х) — Аэс (х_о ) Дч

получим следующее неравенство:

||F(x-F(х_о ) -F'c(х_о ) Дx|| || F'_c (x_o +иДx) -F'_c (x₀ )|||| Дx|| (10)

Связь между слабой и сильной дифференцируемостью

Сильная и слабая дифференцируемость представляют собой различные понятия даже в случае конечномерных пространств. Действительно, из анализа хорошо известно, что для числовой функции

f(x) = f(x_1,…, x_n )

при n2 из существования производной

при любом фиксированном h= (f_1, ...,f_n ) еще не следует диф- ференцируемость этой функции, т. е. возможность представить ее приращение f(x+h)- f(x)в виде суммы линейной (по h) части и члена выше первого порядка малости относительно h.